Baza przest. lin

[Heisenberg]

Jaka jest baza przestrzeni liniowej, jeżeli wektor \(\displaystyle{ (2,1,3) \in R}\) ma w tej bazie współrzędne \(\displaystyle{ (1,0,1)}\)

Wektory bazy \(\displaystyle{ \alpha=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}\); \(\displaystyle{ \beta=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3});
\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}\)


\(\displaystyle{ (2,-1,3)=1(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})+0(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})+1(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}\)

I co niby z tym? Nie da się wyznaczyć bazy jednoznacznie.

[Premislav]

No, nie da się. Pewnie potrzebowałbyś współrzędnych trzech wektorów (i to nie tak zupełnie dowolnych) w tej nowej bazie, żeby jednoznacznie to określić. Przykładowa baza czyniąca zadość warunkom zadania to
\(\displaystyle{ ((2,1,2), (1,0,0),(0,0,1))}\)
Może chodziło o to, by napisać taki układ równań, jak to zrobiłeś (choć chyba wrzuciłeś \(\displaystyle{ -1}\) zamiast \(\displaystyle{ 1}\)) i na drodze jakichś przekształceń sklasyfikować wszystkie (jest ich nieskończenie wiele) rozwiązania? Widać, że dowolne tak wybrane wektory \(\displaystyle{ (v_1, v_2, v_3)}\),
że \(\displaystyle{ v_1+v_3=(2,1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ (v_1, v_2, v_3)}\) są liniowo niezależne
będą spełniać warunki zadania.