Który wyznacznik wybrać?

[xdas123]

Niech
\(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\b&-a&d&-c\\c&-d&-a&b\\d&c&-b&-a\end{array}\right]}\)
Oblicz \(\displaystyle{ A A^{T}}\) i jej wyznacznik. Wywnioskuj z tego, ile wynosi \(\displaystyle{ \det(A)}\).
No obliczyłem wyszło mi, że
\(\displaystyle{ \det(AA^{T})= (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{4}}\)
No i teraz moje pytanie która odpowiedź jest prawdziwa i dlaczego:
\(\displaystyle{ a)\ \det(A)= (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{2} \\
b)\ \det(A)= -(a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{2}}\)

[leg14]

Policz z definicji jaki jest znak przy wyrazie \(\displaystyle{ a^4}\)

[xdas123]

Tzn z czego definicji? I nie do końca rozumiem o jakie \(\displaystyle{ a^4}\) chodzi.

[leg14]

Napisales, ze \(\displaystyle{ \det(A) = =\pm(a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{2}}\) jak to wymnozysz to masz tam wyraz \(\displaystyle{ \pm a^4}\)

Tzn z czego definicji?

wyznacznika

[xdas123]

Nie rozumiem sensu po co mam mnożyć
\(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{2} i -(a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{2}}\)
Oraz mógłbyś napisać mi definicję, z której mam skorzystać bo nie mogę znaleźć żadnej sensownej.

[leg14]

\(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})^{2}}\)
przeciez to jest kwadrat - \(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2}) \cdot (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})}\) - jak wymnozysz to to pierwszym wyrazem sumy bedzie \(\displaystyle{ a^4}\).

raz mógłbyś napisać mi definicję, z której mam skorzystać bo nie mogę znaleźć żadnej sensownej.

"definicja permutacyjna" - nie musisz liczyc calego wystarczy, ze sprawdzisz znak przy \(\displaystyle{ a^4}\), co jest banalne, bo akurat \(\displaystyle{ a^4}\) mozesz uzyskac tylko z przekatnej.

[xdas123]

No ok czyli przy \(\displaystyle{ a^4}\) będzie \(\displaystyle{ -}\), ale co z tego wynika i dlaczego mnożymy
\(\displaystyle{ -(a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2}) \cdot (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2})}\)

[leg14]

Wiesz ,ze wyznacznik jest rowny plus minus \(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2}) \cdot (a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2}) = a^4 +b^4 +...}\) chcesz poznac znak.
Nie masz wyboru musisz go jakos wyliczyc. Moja propozycja jest nastepujaca - wylicz kawalek sumy, a konkretniej ten odpowiadajacy \(\displaystyle{ a^4}\) z definicji. Bedziesz tam mial minus lub go nie bedzie. I dostaniesz odpowiedz. Inaczej mowiac chcesz poznac znak, moglbys wyliczyc caly wyznacznik z definicji i wtedy oczywscie bys ten znak poznal. Ale wyznacznik jest suma ilus tam wyrazow, z ktorych kazdy ma ten sam znak (a,b,c,d traktujemy jako dodatnie liczby) - wniosek - wystarczy poznac tylko jeden wyraz z tej sumy. Najprostszym skladnikiem sumy jest \(\displaystyle{ +-a^4}\)