Kodowanie macierzowe

[anetka94]

Jak pokazać, że:
a) w wyniku dodania do pewnego wiersza innego
b) w wyniku dowolnej permutacji wierszy macierzy \(\displaystyle{ C}\)
otrzymamy nową macierz generującą kodowanie równoważne z kodowaniem macierzy \(\displaystyle{ C}\)?

Kodowania E, E': \(\displaystyle{ \mathbb Z^m_2 \rightarrow \mathbb Z^n_2}\) są równoważne jeżeli istnieje bijekcja \(\displaystyle{ E(\mathbb Z^m_2) \rightarrow E'(\mathbb Z^m_2)}\), która zachowuje odległość między słowami kodowymi.

W przypadku a) zbiory słów kodowych się nie zmieniają. Więc musimy udowodnić \(\displaystyle{ E(\mathbb Z^m_2) = E'(\mathbb Z^m_2)}\)

Niech \(\displaystyle{ C= \left[
\begin{array}{ccc}
c_{11} &...& c_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
c_{m1} & ...&c_{mn}
\end{array}
\right]}\)
Oznaczmy pierwszy i ostatni wiersz odpowiednio przez \(\displaystyle{ \overline c_1, \overline c_m}\).
Wtedy nowa macierz \(\displaystyle{ C'=\left[
\begin{array}{c}
\overline c_{1} \\
\vdots\\
\overline c_{i} + \overline c_j\\
\vdots\\
\overline c_j\\
\vdots\\
\overline c_{m}
\end{array}
\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \overline c_{i} + \overline c_j}\) to i-ty wiersz.

Słowa kodowe to \(\displaystyle{ \overline aC, \overline aC'}\) odpowiednio dla kodowań E i E' (\(\displaystyle{ \overline a =(a_1,a_2,...,1_m))}\)

Weźmy dowolne słowo kodowe \(\displaystyle{ \overline b}\)
\(\displaystyle{ \overline b \in E'(\mathbb Z^m_2) \Rightarrow \overline b=\overline aC'=a_1\overline C_1+a_2\overline C_2+...+a_i(\overline C_i+\overline C_j)+...+a_j\overline c_j+...+a_m\overline C_m=a_1\overline C_1+a_2\overline C_2+...+a_i\overline C_i+(a_i+a_j)\overlineC_j+...+a_m\overline C_m=(a_1,a_2,...,a_i,a_i+a_j,...,a_m)C \in E(\mathbb Z^m_2)}\)

Czy podpunkt a) jest zrobiony w miarę dobrze? Czy mogłabym prosić o jakieś wskazówki do punktu b)?