Baza uporządkowana

[matematykiv]

Czym różni się baza od bazy uporządkowanej?
Zarówno \(\displaystyle{ B=(x^{2},x,1}\)) jak i \(\displaystyle{ B=(x,x^{2},1)}\) to bazy \(\displaystyle{ W_{2}}\) (zbiór wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych). Czy obie są uporządkowane? Nie mam dobrej definicji z wykładu..

[pawlo392]

Baza uporządkowana to po prostu baza kanoniczna.

[matematykiv]

I te dwie podane wyżej bazy są uporządkowane?

[pawlo392]

Układ \(\displaystyle{ (x^n,...,x^2,x^1,1)}\) jest bazą przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\). I to jest baza standardowa, kanoniczna. Druga natomiast taka nie jest, w twoim przypadku.

[matematykiv]

Czyli \(\displaystyle{ B=(1,1+x,1+x+x^{2})}\) i \(\displaystyle{ B=(2x+1,3x,x^{2} + 1)}\) to również nie są bazy uporządkowane?

[pawlo392]

Trochę za ogólnie Ci odpowiedziałem.Jeśli kolejność wektorów bazowych jest istotna to wtedy mówimy, że jest to baza uporządkowana. Taka właśnie jest baza kanoniczna.

[matematykiv]

A jak poznać, że kolejność jest istotna?
Edit:
Może na przykładzie będzie łatwiej:

Jak znaleźć bazę uporządkowaną bazę takiej przestrzeni? \(\displaystyle{ V = \RR^{3}, W = A \cap B, \text{gdzie} A = L ( (1,0,2)^{T},(-1,1,1)^{T}), B = \{x \in \RR^{3} : 3x_{1} + 7x_{2} - 2x_{3} = 0\}}\)?

[pawlo392]

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ B}\) to aby znaleźć bazę uporządkowaną należy po prostu rozwiązać podany układ, podane równanie, dokonać parametryzacji. Ale ty dodatkowo szukasz bazy przecięcia, zatem te wektory należą zarówno do \(\displaystyle{ A}\) jak i \(\displaystyle{ B}\). Zatem należy rozwiązać :

\(\displaystyle{ a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3=v=b_1w_1+b_2w_2+b_3w_3\ \Rightarrow \\ \\ a_1u_+a_2u_2+a_3u_3-b_1w_1-b_2w_2-b_3w_3=0}\)
Gdzie \(\displaystyle{ u_n}\) oraz \(\displaystyle{ w_n}\) są wektorami bazowymi poszczególnych przestrzeni.
Warto też wyznaczyć sobie wymiar przecięcia.