Bazy Jordana

[197Yoanna]

Znaleźć bazę Jordana endomorfizmu:
\(\displaystyle{ (x,y,z) \rightarrow (-y-z, 2x+3y+z,2x+y+3z)}\)
i obliczyć macierz w tych bazach. Oprócz tego przedstawić macierze tych endomorfizmów w bazie kanonicznej w postaci \(\displaystyle{ QJQ^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ J}\) jest macierzą Jordana.

Wiem tyle, że:
\(\displaystyle{ A-t(id) = \left[\begin{array}{ccc}-t&-1&-1\\2&3-t&1\\2&1&3-t\end{array}\right]}\)
więc wielomian charakterystyczny to
\(\displaystyle{ det(a-t(id))=-(t-2)^3}\)

Jedyną wartością własną jest \(\displaystyle{ t=2}\), więc po podstawieniu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&-1&-1\\2&1&1\\2&1&1\end{array}\right]}\)

Wtedy
\(\displaystyle{ ker(A-2id)=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R^3: y=-2x-z \right\}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ dim\ ker(A-2id)=2}\)

Stąd wiem, że macierz Jordana jest postaci
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ ker(A-2id)^2=R^3}\), ponieważ po podniesieniu do potęgi macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&-1&-1\\2&1&1\\2&1&1\end{array}\right]}\) dostajemy macierz zerową, więc \(\displaystyle{ dim\ ker(A-2id)^2=3}\)

Tu się zaczynają (dla mnie) schody, gdyż nie wiem, jak dobrać wektory do bazy. Wiem, że jeden powinien być z \(\displaystyle{ ker(A-2id)^2}\), a dwa pozostałe z \(\displaystyle{ ker(A-2id)}\). Nie wiem też, jak je mam uporządkować, by otrzymać macierz Jordana.

[pawlo392]

Rozwiąż najpierw takie równanie i pokaż co wyszło.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&-1&-1\\2&1&1\\2&1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x & y &z\end{array}\right]=0}\)

[197Yoanna]

\(\displaystyle{ y=-2x-z}\)

[pawlo392]

Chodziło mi o wektory bardziej, zatem mamy:
\(\displaystyle{ x(1,-2,0)+z(0,-1,1)}\). Teraz wybierasz wektor liniowo niezależny od tych które wyliczyłaś. I mnożysz go przez tę macierz. Otrzymasz jakiś wektor.

[197Yoanna]

Wzięłam \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) i po przemnożeniu przez macierz otrzymałam wektor \(\displaystyle{ (-1,1,1)}\).-- 2 kwi 2017, o 21:50 --Myślę, że już rozwiązałam swój problem.
Teraz biorę jeden z wektorów \(\displaystyle{ (1,-2,0) \ (0, -1,1)}\) (wezmę ten pierwszy), dopełnienie do bazy (czyli wektor \(\displaystyle{ (0,0,1)}\)) i otrzymany z mnożenia wektor \(\displaystyle{ (-1,1,1)}\). Bazą Jordana są więc wektory \(\displaystyle{ (1,-2,0) \ (0,0,1) \ (-1,1,1)}\).
Jeśli tak, to dalej jest już proste.

[pawlo392]

Zatem mamy już 2 wektory do naszej macierzy przejścia. Teraz potrzebujemy jeszcze jednego. Z kolei ten dopieramy z wyliczonych poprzednich. Wybieramy oczywiście liniowo niezależny z obecnymi.-- 2 kwi 2017, o 20:57 --Nie widziałem że dopisałaś. Ale tak, zgadza się.