przekształcenie liniowe

[lojo]

Proszę o sprawdzenie

Wyznaczyć macierz operatora liniowego w bazie standardowej:
\(\displaystyle{ T : R ^{2} \rightarrow R ^{4},\ T(x, y) = (y,-x, x + 3y, x - y);}\)

o ile dobrze rozumiem treść zadania to moją bazą standardową są:
\(\displaystyle{ T _{x}(1,0),\ T _{y}(0,1)}\)
i następnie
\(\displaystyle{ T _{x}(1,0)=(0,-1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ T _{y}(0,1)=(1,0,3,-1)}\)
a macierz wygląda następująco
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0&1\\
-1&0\\
1&3\\
1&-1\end{bmatrix}}\)
i jeszcze jedno pytanie jak poprawnie oznaczyć tą macierz?




zad 2
Znając przekształcenia liniowe wektorów bazy standardowej, znajdź przekształcenie podanego wektora \(\displaystyle{ v}\):

\(\displaystyle{ T : R ^{2} \rightarrow R ^{2},\ T(e _{1} ) = (1, 3), T(e _{2} ) = (2, −1), v = (2, −3);}\)
czyli
\(\displaystyle{ T(e _{1} ) = (1, 3)}\)
\(\displaystyle{ e _{1} =(1,0)}\)
\(\displaystyle{ T(e _{2} ) = (2, -1)}\)
\(\displaystyle{ e _{2} =(0,1)}\)
\(\displaystyle{ T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y)}\)
\(\displaystyle{ T(v)=(-4,9)}\)

[Poszukujaca]

Masz błąd przy obliczeniu \(\displaystyle{ T(v)}\), a poza tym zadania są zrobione poprawnie.

Jeśli chodzi o oznaczenie macierzy odwzorowania, to stosuje się różny zapis. Zwykle dodaje się przy nim oznaczenia baz, aby podkreślić w jakich bazach została określona macierz przekształcenia.

Możesz zapisać np tak: \(\displaystyle{ T_{A}^{B}}\) i wtedy w indeksie górnym piszesz bazę przestrzeni, do której odwzorowanie przeprowadza wektory, a w indeksie dolnym z bazę przestrzeni z dziedziny. rugi często używany zapis to \(\displaystyle{ M_{t}(AB)}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) oznacza macierz, \(\displaystyle{ t}\) odwzorowanie, a \(\displaystyle{ AB}\) bazy.