odwzorowania liniowe

[lojo]

Proszę o sprawdzenie.

Sprawdzić, czy podane odwzorowania są liniowe:

a)\(\displaystyle{ T:R \rightarrow R, T(x) =\left| x\right|}\)

sprawdzam:
1)\(\displaystyle{ T(x _{1}+ x _{2} ) = T(x _{1})+ T(x _{2})}\)
2)\(\displaystyle{ T( \alpha x _{1})= \alpha T(x _{1} )}\)


1)\(\displaystyle{ T( x _{1}+ x _{2} )=\left| x _{1}+ x _{2}\right|= \begin{cases} x _{1}+x _{2}\ dla\ x _{1},x _{2} \ge 0 \\ -x _{1}+x _{2}\ dla\ x _{1}<0 \wedge x _{2} \ge 0\\ x _{1}+\left( -x _{2}\right) \ dla\ x _{1} \ge 0 \wedge x _{2} < 0\\-x _{1}+\left( -x _{2}\right) \ dla\ x _{1},x _{2} < 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ T(x _{1})+ T(x _{2})=\left| x _{1}\right|+\left| x _{2} \right|= \begin{cases} x _{1}+x _{2}\ dla\ x _{1},x _{2} \ge 0 \\ -x _{1}+x _{2}\ dla\ x _{1}<0 \wedge x _{2} \ge 0\\ x _{1}+\left( -x _{2}\right) \ dla\ x _{1} \ge 0 \wedge x _{2} < 0\\-x _{1}+\left( -x _{2}\right) \ dla\ x _{1},x _{2} < 0\end{cases}}\)
L=P

2)\(\displaystyle{ T( \alpha x _{1})= \left| \alpha x _{1} \right|= \left| \alpha \right| \left|x _{1} \right|= \begin{cases} \alpha \left| x _{1}\right|\ dla\ \alpha \ge 0 \\ -\alpha \left| x _{1}\right|\ dla\ \alpha <0\end{cases}}\)

odwzorowanie jest liniowe

b)\(\displaystyle{ T :R ^{3} \rightarrow R ^{2} ,\ T(x, y, z) = (1, 1)}\)
sprawdzam
\(\displaystyle{ 1)T(x _{1}+x _{2} , y _{1}+y _{2}, z_{1}+z _{2}) =T(x _{1}, y _{1}, z_{1})+T(+x _{2} , y _{2}, z _{2})}\)
2)\(\displaystyle{ T( \alpha x _{1}, \alpha y _{1}, \alpha z_{1})= \alpha T(x _{1}, y _{1}, z_{1})}\)
1)\(\displaystyle{ T(x _{1}+x _{2} , y _{1}+y _{2}, z_{1}+z _{2})=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ T(x _{1}, y _{1}, z_{1})+T(x _{2} , y _{2}, z _{2})=(1,1)+(1,1)=(2,2)}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\)
2)\(\displaystyle{ T( \alpha x _{1}, \alpha y _{1}, \alpha z_{1})=( 1 , 1 )}\)
\(\displaystyle{ \alpha T(x _{1}, y _{1}, z_{1})=( \alpha , \alpha )}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\)
odwzorowanie nie jest liniowe

[Premislav]

Pierwszy podpunkt źle, drugi może być, ale zapis średni.
Poza tym jak sprawdziłeś, że jeden z warunków w b) nie jest spełniony, to PO CO sprawdzać pozostałe?

[lojo]

a mogę kogoś poprosić żeby pokazał jak powinien wyglądać poprawny zapis? a w a) co jest nie tak źle opuściłem modół?

[Premislav]

Tak, w a) popełniłeś błąd przy opuszczaniu modUłu, ponadto opuściłeś też kilka lekcji języka polskiego.

Np. nie jest prawdą, że
\(\displaystyle{ |x_1+x_2|=-x_1+x_2}\) dla \(\displaystyle{ x_1<0, x_2 \ge 0}\)
Weźmy np. \(\displaystyle{ x_1=-1, x_2=1}\) i otrzymujesz znaną "tożsamość" \(\displaystyle{ 0=2}\).-- 2 kwi 2017, o 16:38 --Ogólnie mamy
\(\displaystyle{ |x_1+x_2|= \begin{cases} x_1+x_2 \text{ gdy }x_1+x_2\ge 0 \\-x_1-x_2 \text{ gdy } x_1+x_2<0 \end{cases}}\)
Ale tu w ogóle nie rozpisywałbym tych modułów, tylko zauważył, ze np.
\(\displaystyle{ |1+(-1)|\neq|1|+|1|}\)
więc warunek addytywności nie jest spełniony.

[lojo]

W sumie masz racje. A mogę poprosić o przedstawienie lepszego zapisu niż mój ?

[a4karo]

Że coś "nie jest" pokazuje sie na ogół przez podanie przykładu. Premislav już to za Ciebie zrobił w a).

Sam wymyśl przykład w b)