Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
\(\displaystyle{ 1)}\) Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), jeśli:
\(\displaystyle{ V=\RR^{3}, W = \{ x \in \RR^{3} : x_{1} = 2x_{2}, x_{2} + x_{3} = 1\}}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ Map(\RR,\RR)}\) będzie zbiorem funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR, C(I)}\)oznacza zbiór funkcji \(\displaystyle{ f : I \rightarrow \RR}\) ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ I}\), zaś \(\displaystyle{ W_{k}}\) - zbiór wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le k}\) o współczynnikach rzeczywistych. Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) jeśli:
\(\displaystyle{ a) V = C([0,1]),
W = \{ f \in V : \int_{0}^{1} f(x) dx = 0\}}\)
\(\displaystyle{ b) V = W_{2},
W = \{ f \in V : w(0) + 2w(1) = 0\}}\)
\(\displaystyle{ c) V = Map(\RR,\RR),
W = \{ f \in V : f(1) = 0\}}\)
Czy ktoś mógłby mi pomóc z tymi zadaniami? Mam takich dużo do przerobienia, w tych \(\displaystyle{ 1)}\) do tej pory sprawdzałem sobie czy \(\displaystyle{ \alpha x_{1} + \beta x_{2} \in W}\), ale teraz są tam dwa równania i trochę mnie to gubi. Natomiast zadań typu \(\displaystyle{ 2)}\) mam jeszcze kilkanaście i w ogóle ich nie rozumiem. Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ V=\RR^{3}, W = \{ x \in \RR^{3} : x_{1} = 2x_{2}, x_{2} + x_{3} = 1\}}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ Map(\RR,\RR)}\) będzie zbiorem funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR, C(I)}\)oznacza zbiór funkcji \(\displaystyle{ f : I \rightarrow \RR}\) ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ I}\), zaś \(\displaystyle{ W_{k}}\) - zbiór wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le k}\) o współczynnikach rzeczywistych. Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) jeśli:
\(\displaystyle{ a) V = C([0,1]),
W = \{ f \in V : \int_{0}^{1} f(x) dx = 0\}}\)
\(\displaystyle{ b) V = W_{2},
W = \{ f \in V : w(0) + 2w(1) = 0\}}\)
\(\displaystyle{ c) V = Map(\RR,\RR),
W = \{ f \in V : f(1) = 0\}}\)
Czy ktoś mógłby mi pomóc z tymi zadaniami? Mam takich dużo do przerobienia, w tych \(\displaystyle{ 1)}\) do tej pory sprawdzałem sobie czy \(\displaystyle{ \alpha x_{1} + \beta x_{2} \in W}\), ale teraz są tam dwa równania i trochę mnie to gubi. Natomiast zadań typu \(\displaystyle{ 2)}\) mam jeszcze kilkanaście i w ogóle ich nie rozumiem. Proszę o pomoc.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
1)
Oczywiście, ze nie jest to podprzestrzeń liniowa, np. \(\displaystyle{ (4,2,-1) \in W}\) oraz \(\displaystyle{ (0,0,1)
\in W}\), ale \(\displaystyle{ (4,2,-1)+(0,0,1)=(4,2,0) \notin W}\)
2)
w pierwszym tak, to idzie z liniowości całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\alpha f(x)+\beta g(x)) \,\dd x=\alpha \int_{0}^{1}f(x)+\beta \int_{0}^{1} g(x)\,\dd x}\)
więc jeśli całki z \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są równe zero, to ta całka z kombinacji liniowej też.
W b) rozpisz z tego głupiego warunku, wyjdzie, że \(\displaystyle{ W=\left\{ ax^2+bx-\frac 2 3a-\frac 2 3b: a,b \in \RR\right\}}\) - oczywiście jest to przestrzeń liniowa (z definicji możesz to sprawdzić)
zaś w c) rozpisz znów z definicji...
Jak tego nie rozumiesz, to weź do ręki notatki/książkę.
Oczywiście, ze nie jest to podprzestrzeń liniowa, np. \(\displaystyle{ (4,2,-1) \in W}\) oraz \(\displaystyle{ (0,0,1)
\in W}\), ale \(\displaystyle{ (4,2,-1)+(0,0,1)=(4,2,0) \notin W}\)
2)
w pierwszym tak, to idzie z liniowości całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\alpha f(x)+\beta g(x)) \,\dd x=\alpha \int_{0}^{1}f(x)+\beta \int_{0}^{1} g(x)\,\dd x}\)
więc jeśli całki z \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są równe zero, to ta całka z kombinacji liniowej też.
W b) rozpisz z tego głupiego warunku, wyjdzie, że \(\displaystyle{ W=\left\{ ax^2+bx-\frac 2 3a-\frac 2 3b: a,b \in \RR\right\}}\) - oczywiście jest to przestrzeń liniowa (z definicji możesz to sprawdzić)
zaś w c) rozpisz znów z definicji...
Jak tego nie rozumiesz, to weź do ręki notatki/książkę.
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
A w \(\displaystyle{ 1)}\) można napisać, że \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) nie należy do \(\displaystyle{ W}\) czyli nie jest spełniony jeden z warunków, żeby była to podprzestrzeń?
W 2 napisałem \(\displaystyle{ W_{2} = ax^{2} + bx + c}\)
czyli \(\displaystyle{ w(0) = c; w(1) = a + b + c}\)
\(\displaystyle{ W = \left\{2a + 2b + 3c : a,b,c \in \RR\right\}}\)
\(\displaystyle{ \alpha(2a+2b+3c) + \beta (2a + 2b + 3c) = 2a(\alpha + \beta) + 2b(\alpha + \beta) + 3c(\alpha + \beta)}\)
Tylko w sumie nie wiem co z tego..
W 2 napisałem \(\displaystyle{ W_{2} = ax^{2} + bx + c}\)
czyli \(\displaystyle{ w(0) = c; w(1) = a + b + c}\)
\(\displaystyle{ W = \left\{2a + 2b + 3c : a,b,c \in \RR\right\}}\)
\(\displaystyle{ \alpha(2a+2b+3c) + \beta (2a + 2b + 3c) = 2a(\alpha + \beta) + 2b(\alpha + \beta) + 3c(\alpha + \beta)}\)
Tylko w sumie nie wiem co z tego..
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
Co do 1) - tak, można tak postąpić.
Co do 2b), masz trochę błędny zapis. Elementy \(\displaystyle{ W}\) są wielomianami stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\), które spełniają tę zadaną równość, a nie liczbami rzeczywistymi.
Z warunku \(\displaystyle{ 2a+2b+3c=0}\) można wyliczyć np.
\(\displaystyle{ c=-\frac 2 3 a-\frac 2 3 b}\).
niech teraz \(\displaystyle{ u,w \in W}\), tj. dla pewnych \(\displaystyle{ a_1, b_1, a_2, b_2 \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ u(x)=a_1 x^2+b_1x-\frac 2 3a_1-\frac 2 3b_1}\) oraz
\(\displaystyle{ w(x)=a_2 x^2+b_2x-\frac 2 3a_2-\frac 2 3b_2}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in \RR}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\)
Czyli jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V.}\)
Co do 2b), masz trochę błędny zapis. Elementy \(\displaystyle{ W}\) są wielomianami stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\), które spełniają tę zadaną równość, a nie liczbami rzeczywistymi.
Z warunku \(\displaystyle{ 2a+2b+3c=0}\) można wyliczyć np.
\(\displaystyle{ c=-\frac 2 3 a-\frac 2 3 b}\).
niech teraz \(\displaystyle{ u,w \in W}\), tj. dla pewnych \(\displaystyle{ a_1, b_1, a_2, b_2 \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ u(x)=a_1 x^2+b_1x-\frac 2 3a_1-\frac 2 3b_1}\) oraz
\(\displaystyle{ w(x)=a_2 x^2+b_2x-\frac 2 3a_2-\frac 2 3b_2}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in \RR}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\)
Czyli jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
To jest ppl \(\displaystyle{ V}\) ponieważ to \(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\) jest tak jakby nasz nowy wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) i \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = \frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right) + \frac 1 3\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)}\) i istnieją takie \(\displaystyle{ a_{1},b_{1}, \alpha, \beta}\), że \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?Premislav pisze: \(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\)
Czyli jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V.}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
Pomyliłeś chyba kwantyfikatory (powinien być ogólny, a nie egzystencjalny), choć ogólnie napisałeś tak nie po polsku, że aż trudno mi odszyfrować.
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
Utworzyliśmy dwa wielomiany \(\displaystyle{ u(x)}\) i \(\displaystyle{ w(x)}\). Przemnożone odpowiednio przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) dały nam one \(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\).
I już wiadomo, że to podprzestrzeń liniowa? Nie trzeba sprawdzać warunku \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?
Myślałem, że teraz nasz wielomian \(\displaystyle{ w}\) to byłby \(\displaystyle{ w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\), czyli \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = \frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right) + \frac 1 3\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)}\) i teraz wiemy, że dla każdego(tylko czy na pewno to wiemy i skąd?) \(\displaystyle{ a_{1},b_{1}, \alpha, \beta}\) \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\) i dlatego to podprzestrzeń liniowa.
Tak to rozumiem-- 1 kwi 2017, o 21:00 --Ponad to wyżej mam jeszcze pytanie o zadania tego typu:
\(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR),
W=\left\{ f \in V :}\) wykres ma asymptotę poziomą \(\displaystyle{ \}}\)
Tutaj trzeba to opisać słownie, np tak: "wykres ten przemnożony przez skalar dalej będzie miał asymptotę pionową, suma dwóch funkcji z asymptotą pionową również da funkcje z asymptotą pionową. Wobec tego W tworzy ppl \(\displaystyle{ V}\)"?
I już wiadomo, że to podprzestrzeń liniowa? Nie trzeba sprawdzać warunku \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?
Myślałem, że teraz nasz wielomian \(\displaystyle{ w}\) to byłby \(\displaystyle{ w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\), czyli \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = \frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right) + \frac 1 3\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)}\) i teraz wiemy, że dla każdego(tylko czy na pewno to wiemy i skąd?) \(\displaystyle{ a_{1},b_{1}, \alpha, \beta}\) \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\) i dlatego to podprzestrzeń liniowa.
Tak to rozumiem-- 1 kwi 2017, o 21:00 --Ponad to wyżej mam jeszcze pytanie o zadania tego typu:
\(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR),
W=\left\{ f \in V :}\) wykres ma asymptotę poziomą \(\displaystyle{ \}}\)
Tutaj trzeba to opisać słownie, np tak: "wykres ten przemnożony przez skalar dalej będzie miał asymptotę pionową, suma dwóch funkcji z asymptotą pionową również da funkcje z asymptotą pionową. Wobec tego W tworzy ppl \(\displaystyle{ V}\)"?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
Nie trzeba sprawdzać, bo przecież wielomiany, które można tak zapisać automatycznie spełniają ten warunek. Ja z sufitu sobie nie wziąłem tej postaci wielomianów, tylko wziąłem sobie jakiś dowolny element \(\displaystyle{ W_2}\) i rozpisałem sobie, co to znaczy, że spełnia on warunekI już wiadomo, że to podprzestrzeń liniowa? Nie trzeba sprawdzać warunku \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?
\(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\).
Tj. jak ogólnie mamy postać \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\), to podstawienie tego do warunku
\(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\) daje \(\displaystyle{ 2a+2b+3c=0}\), czyli \(\displaystyle{ c=-\frac 2 3a-\frac 2 3 b}\).
Jeżeli to nic nie rozjaśnia, to przewertuj notatki z algebry.
Co do tego nowego pytania, owszem, można też to uzasadniać słownie, ale należy to zrobić ściśle, np. ja nie uważam, żeby "przemnożenie wykresu przez skalar" było poprawnym sformułowaniem (przez skalar to możesz przemnożyć wartości funkcji, wykres to zbiór par uporządkowanych \(\displaystyle{ \left\{\left( x,f(x)\right): x \in D \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) to dziedzina). Ale jeśli u Ciebie tak się pisze, no to pewnie nie ma się co czepiać.
Poza tym ja bym tu się po prostu powołał na tw. o arytmetyce granic, żeby Twoje rozwiązanie nie wyglądało tak: "czy to jest podprzestrzeń liniowa? odpowiedź: tak, to jest podprzestrzeń liniowa, bo spełnia definicję, co kończy dowód". Za takie coś można stracić punkty na egzaminie, a poza tym to nie jest poprawna metoda przeprowadzania dowodów - nawet jeśli wiesz, co się tu dzieje i uważasz, że np. "nie ma się co rozpisywać".
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
Rzeczywiście zagapilem się z tym wielomianem, dziękuję za rozjaśnienie.
Odnośnie tego drugiego, to mam kilka zadań tego typu w zbiorze zadań od wykładowcy, ale żadnego nie przerobilismy na zajęciach, także nie wiem jak proste rozwiązanie będzie dla niego wystarczające. Myślę, że to moje nie jest zbytnio dobre.
Czyli należałoby napisać, że funkcja (z asymptota pionowa) pomnożona przez liczbę dalej ma tę asymptotę na podstawie \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0}} c*f(x) = c* \lim_{x \to x_{0}} f(x)}\) i tak samo będzie z \(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to x_{0} } f(x) + \lim_{ x\to x_{0} } g(x) = \lim_{ x\to x_{0} }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to x_{0} } k(x)}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ k(x)}\) też ma granice pionowa?
Odnośnie tego drugiego, to mam kilka zadań tego typu w zbiorze zadań od wykładowcy, ale żadnego nie przerobilismy na zajęciach, także nie wiem jak proste rozwiązanie będzie dla niego wystarczające. Myślę, że to moje nie jest zbytnio dobre.
Czyli należałoby napisać, że funkcja (z asymptota pionowa) pomnożona przez liczbę dalej ma tę asymptotę na podstawie \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0}} c*f(x) = c* \lim_{x \to x_{0}} f(x)}\) i tak samo będzie z \(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to x_{0} } f(x) + \lim_{ x\to x_{0} } g(x) = \lim_{ x\to x_{0} }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to x_{0} } k(x)}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ k(x)}\) też ma granice pionowa?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
matematykiv pisze:Rzeczywiście zagapilem się z tym wielomianem, dziękuję za rozjaśnienie.
Odnośnie tego drugiego, to mam kilka zadań tego typu w zbiorze zadań od wykładowcy, ale żadnego nie przerobilismy na zajęciach, także nie wiem jak proste rozwiązanie będzie dla niego wystarczające. Myślę, że to moje nie jest zbytnio dobre.
Czyli należałoby napisać, że funkcja (z asymptota pionowa) pomnożona przez liczbę dalej ma tę asymptotę na podstawie \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0}} c*f(x) = c* \lim_{x \to x_{0}} f(x)}\) i tak samo będzie z \(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to x_{0} } f(x) + \lim_{ x\to x_{0} } g(x) = \lim_{ x\to x_{0} }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to x_{0} } k(x)}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ k(x)}\) też ma granice pionowa?
Ot pojawiło się jakies rozwiązanie, ale nie wiadomo jakiego zadania.
Pobawię sie w jasnowidza:
Czy zbiór funkcji, które mają asymptotę pionową w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest przestrzenią liniową?
Odpowiedź: Nie
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
No to jak w końcu? W treści jest "poziomą":
Za duże zamieszanie.
a Ty rozwiązujesz dla pionowej (a to akurat nie jest prawda, bo funkcja stale równa \(\displaystyle{ 0}\) nigdzie nie ma asymptoty pionowej).\(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR),
W=\left\{ f \in V : \text{ wykres ma asymptotę {\red poziomą } }\}}\)
Za duże zamieszanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 58 razy
Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią
Rzeczywiście, pomyliłem się w rozwiązaniu przykładu, bo w treści mam dwa podpunkty, dla funkcji z asymptotą pionową i również poziomą.
Czyli zbiór \(\displaystyle{ W}\) wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow \RR}\) z asymptotami pionowymi nie jest \(\displaystyle{ \text{ppl} V}\), ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) nie ma asymptoty pionowej, czyli nie jest spełniony pierwszy warunek \(\displaystyle{ 0 \in V}\)?
Natomiast \(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR), W=\left\{ f \in V : \text{ wykres ma asymptotę poziomą }\}}\) jest \(\displaystyle{ \text{ppl} V}\) bo
\(\displaystyle{ f(x) = 0 \subset V}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} c*f(x) = c* \lim_{x \to \infty} f(x)}\)
\(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to \infty } f(x) + \lim_{ x\to \infty } g(x) = \lim_{ x\to \infty }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to \infty } k(x)}\)-- 9 kwi 2017, o 14:35 --Mam jeszcze pytanie, to co wyżej odnośnie asymptot poziomych jest dobrze? Jeśli jedna funkcja będzie miała asymptotę w \(\displaystyle{ + \infty}\), a druga w \(\displaystyle{ - \infty}\) to będzie ok?
Czyli zbiór \(\displaystyle{ W}\) wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow \RR}\) z asymptotami pionowymi nie jest \(\displaystyle{ \text{ppl} V}\), ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) nie ma asymptoty pionowej, czyli nie jest spełniony pierwszy warunek \(\displaystyle{ 0 \in V}\)?
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa
Natomiast \(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR), W=\left\{ f \in V : \text{ wykres ma asymptotę poziomą }\}}\) jest \(\displaystyle{ \text{ppl} V}\) bo
\(\displaystyle{ f(x) = 0 \subset V}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} c*f(x) = c* \lim_{x \to \infty} f(x)}\)
\(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to \infty } f(x) + \lim_{ x\to \infty } g(x) = \lim_{ x\to \infty }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to \infty } k(x)}\)-- 9 kwi 2017, o 14:35 --Mam jeszcze pytanie, to co wyżej odnośnie asymptot poziomych jest dobrze? Jeśli jedna funkcja będzie miała asymptotę w \(\displaystyle{ + \infty}\), a druga w \(\displaystyle{ - \infty}\) to będzie ok?