Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: matematykiv »

\(\displaystyle{ 1)}\) Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), jeśli:
\(\displaystyle{ V=\RR^{3}, W = \{ x \in \RR^{3} : x_{1} = 2x_{2}, x_{2} + x_{3} = 1\}}\)

\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ Map(\RR,\RR)}\) będzie zbiorem funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR, C(I)}\)oznacza zbiór funkcji \(\displaystyle{ f : I \rightarrow \RR}\) ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ I}\), zaś \(\displaystyle{ W_{k}}\) - zbiór wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le k}\) o współczynnikach rzeczywistych. Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) jeśli:
\(\displaystyle{ a) V = C([0,1]),
W = \{ f \in V : \int_{0}^{1} f(x) dx = 0\}}\)

\(\displaystyle{ b) V = W_{2},
W = \{ f \in V : w(0) + 2w(1) = 0\}}\)

\(\displaystyle{ c) V = Map(\RR,\RR),
W = \{ f \in V : f(1) = 0\}}\)


Czy ktoś mógłby mi pomóc z tymi zadaniami? Mam takich dużo do przerobienia, w tych \(\displaystyle{ 1)}\) do tej pory sprawdzałem sobie czy \(\displaystyle{ \alpha x_{1} + \beta x_{2} \in W}\), ale teraz są tam dwa równania i trochę mnie to gubi. Natomiast zadań typu \(\displaystyle{ 2)}\) mam jeszcze kilkanaście i w ogóle ich nie rozumiem. Proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: Premislav »

1)
Oczywiście, ze nie jest to podprzestrzeń liniowa, np. \(\displaystyle{ (4,2,-1) \in W}\) oraz \(\displaystyle{ (0,0,1)
\in W}\)
, ale \(\displaystyle{ (4,2,-1)+(0,0,1)=(4,2,0) \notin W}\)
2)
w pierwszym tak, to idzie z liniowości całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\alpha f(x)+\beta g(x)) \,\dd x=\alpha \int_{0}^{1}f(x)+\beta \int_{0}^{1} g(x)\,\dd x}\)
więc jeśli całki z \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są równe zero, to ta całka z kombinacji liniowej też.
W b) rozpisz z tego głupiego warunku, wyjdzie, że \(\displaystyle{ W=\left\{ ax^2+bx-\frac 2 3a-\frac 2 3b: a,b \in \RR\right\}}\) - oczywiście jest to przestrzeń liniowa (z definicji możesz to sprawdzić)
zaś w c) rozpisz znów z definicji...

Jak tego nie rozumiesz, to weź do ręki notatki/książkę.
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: matematykiv »

A w \(\displaystyle{ 1)}\) można napisać, że \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) nie należy do \(\displaystyle{ W}\) czyli nie jest spełniony jeden z warunków, żeby była to podprzestrzeń?

W 2 napisałem \(\displaystyle{ W_{2} = ax^{2} + bx + c}\)

czyli \(\displaystyle{ w(0) = c; w(1) = a + b + c}\)

\(\displaystyle{ W = \left\{2a + 2b + 3c : a,b,c \in \RR\right\}}\)

\(\displaystyle{ \alpha(2a+2b+3c) + \beta (2a + 2b + 3c) = 2a(\alpha + \beta) + 2b(\alpha + \beta) + 3c(\alpha + \beta)}\)

Tylko w sumie nie wiem co z tego..
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: Premislav »

Co do 1) - tak, można tak postąpić.

Co do 2b), masz trochę błędny zapis. Elementy \(\displaystyle{ W}\) są wielomianami stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\), które spełniają tę zadaną równość, a nie liczbami rzeczywistymi.
Z warunku \(\displaystyle{ 2a+2b+3c=0}\) można wyliczyć np.
\(\displaystyle{ c=-\frac 2 3 a-\frac 2 3 b}\).
niech teraz \(\displaystyle{ u,w \in W}\), tj. dla pewnych \(\displaystyle{ a_1, b_1, a_2, b_2 \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ u(x)=a_1 x^2+b_1x-\frac 2 3a_1-\frac 2 3b_1}\) oraz
\(\displaystyle{ w(x)=a_2 x^2+b_2x-\frac 2 3a_2-\frac 2 3b_2}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in \RR}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\)
Czyli jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V.}\)
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: matematykiv »

Premislav pisze: \(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\)
Czyli jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V.}\)
To jest ppl \(\displaystyle{ V}\) ponieważ to \(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\) jest tak jakby nasz nowy wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) i \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = \frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right) + \frac 1 3\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)}\) i istnieją takie \(\displaystyle{ a_{1},b_{1}, \alpha, \beta}\), że \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: Premislav »

Pomyliłeś chyba kwantyfikatory (powinien być ogólny, a nie egzystencjalny), choć ogólnie napisałeś tak nie po polsku, że aż trudno mi odszyfrować.
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: matematykiv »

Utworzyliśmy dwa wielomiany \(\displaystyle{ u(x)}\) i \(\displaystyle{ w(x)}\). Przemnożone odpowiednio przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) dały nam one \(\displaystyle{ \alpha u(x)+\beta w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\).

I już wiadomo, że to podprzestrzeń liniowa? Nie trzeba sprawdzać warunku \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?

Myślałem, że teraz nasz wielomian \(\displaystyle{ w}\) to byłby \(\displaystyle{ w(x)=(\alpha a_1+\beta a_2)x^2+(\alpha b_1+\beta b_2)x- \frac{2}{3}\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)-\frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right)}\), czyli \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = \frac 2 3\left( \alpha b_1+\beta b_2\right) + \frac 1 3\left( \alpha a_1+\beta a_2\right)}\) i teraz wiemy, że dla każdego(tylko czy na pewno to wiemy i skąd?) \(\displaystyle{ a_{1},b_{1}, \alpha, \beta}\) \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\) i dlatego to podprzestrzeń liniowa.

Tak to rozumiem-- 1 kwi 2017, o 21:00 --Ponad to wyżej mam jeszcze pytanie o zadania tego typu:
\(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR),
W=\left\{ f \in V :}\)
wykres ma asymptotę poziomą \(\displaystyle{ \}}\)
Tutaj trzeba to opisać słownie, np tak: "wykres ten przemnożony przez skalar dalej będzie miał asymptotę pionową, suma dwóch funkcji z asymptotą pionową również da funkcje z asymptotą pionową. Wobec tego W tworzy ppl \(\displaystyle{ V}\)"?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: Premislav »

I już wiadomo, że to podprzestrzeń liniowa? Nie trzeba sprawdzać warunku \(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\)?
Nie trzeba sprawdzać, bo przecież wielomiany, które można tak zapisać automatycznie spełniają ten warunek. Ja z sufitu sobie nie wziąłem tej postaci wielomianów, tylko wziąłem sobie jakiś dowolny element \(\displaystyle{ W_2}\) i rozpisałem sobie, co to znaczy, że spełnia on warunek
\(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\).
Tj. jak ogólnie mamy postać \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\), to podstawienie tego do warunku
\(\displaystyle{ w(0) + 2w(1) = 0}\) daje \(\displaystyle{ 2a+2b+3c=0}\), czyli \(\displaystyle{ c=-\frac 2 3a-\frac 2 3 b}\).
Jeżeli to nic nie rozjaśnia, to przewertuj notatki z algebry.

Co do tego nowego pytania, owszem, można też to uzasadniać słownie, ale należy to zrobić ściśle, np. ja nie uważam, żeby "przemnożenie wykresu przez skalar" było poprawnym sformułowaniem (przez skalar to możesz przemnożyć wartości funkcji, wykres to zbiór par uporządkowanych \(\displaystyle{ \left\{\left( x,f(x)\right): x \in D \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) to dziedzina). Ale jeśli u Ciebie tak się pisze, no to pewnie nie ma się co czepiać.
Poza tym ja bym tu się po prostu powołał na tw. o arytmetyce granic, żeby Twoje rozwiązanie nie wyglądało tak: "czy to jest podprzestrzeń liniowa? odpowiedź: tak, to jest podprzestrzeń liniowa, bo spełnia definicję, co kończy dowód". Za takie coś można stracić punkty na egzaminie, a poza tym to nie jest poprawna metoda przeprowadzania dowodów - nawet jeśli wiesz, co się tu dzieje i uważasz, że np. "nie ma się co rozpisywać".
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: matematykiv »

Rzeczywiście zagapilem się z tym wielomianem, dziękuję za rozjaśnienie.

Odnośnie tego drugiego, to mam kilka zadań tego typu w zbiorze zadań od wykładowcy, ale żadnego nie przerobilismy na zajęciach, także nie wiem jak proste rozwiązanie będzie dla niego wystarczające. Myślę, że to moje nie jest zbytnio dobre.


Czyli należałoby napisać, że funkcja (z asymptota pionowa) pomnożona przez liczbę dalej ma tę asymptotę na podstawie \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0}} c*f(x) = c* \lim_{x \to x_{0}} f(x)}\) i tak samo będzie z \(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to x_{0} } f(x) + \lim_{ x\to x_{0} } g(x) = \lim_{ x\to x_{0} }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to x_{0} } k(x)}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ k(x)}\) też ma granice pionowa?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: a4karo »

matematykiv pisze:Rzeczywiście zagapilem się z tym wielomianem, dziękuję za rozjaśnienie.

Odnośnie tego drugiego, to mam kilka zadań tego typu w zbiorze zadań od wykładowcy, ale żadnego nie przerobilismy na zajęciach, także nie wiem jak proste rozwiązanie będzie dla niego wystarczające. Myślę, że to moje nie jest zbytnio dobre.


Czyli należałoby napisać, że funkcja (z asymptota pionowa) pomnożona przez liczbę dalej ma tę asymptotę na podstawie \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0}} c*f(x) = c* \lim_{x \to x_{0}} f(x)}\) i tak samo będzie z \(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to x_{0} } f(x) + \lim_{ x\to x_{0} } g(x) = \lim_{ x\to x_{0} }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to x_{0} } k(x)}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ k(x)}\) też ma granice pionowa?

Ot pojawiło się jakies rozwiązanie, ale nie wiadomo jakiego zadania.
Pobawię sie w jasnowidza:
Czy zbiór funkcji, które mają asymptotę pionową w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest przestrzenią liniową?

Odpowiedź: Nie
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: Premislav »

No to jak w końcu? W treści jest "poziomą":
\(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR),
W=\left\{ f \in V : \text{ wykres ma asymptotę {\red poziomą } }\}}\)
a Ty rozwiązujesz dla pionowej (a to akurat nie jest prawda, bo funkcja stale równa \(\displaystyle{ 0}\) nigdzie nie ma asymptoty pionowej).
Za duże zamieszanie.
matematykiv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 4 wrz 2014, o 18:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 58 razy

Sprawdzanie czy dany zbiór (funkcji) jest podprzestrzenią

Post autor: matematykiv »

Rzeczywiście, pomyliłem się w rozwiązaniu przykładu, bo w treści mam dwa podpunkty, dla funkcji z asymptotą pionową i również poziomą.

Czyli zbiór \(\displaystyle{ W}\) wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow \RR}\) z asymptotami pionowymi nie jest \(\displaystyle{ \text{ppl} V}\), ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) nie ma asymptoty pionowej, czyli nie jest spełniony pierwszy warunek \(\displaystyle{ 0 \in V}\)?

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa


Natomiast \(\displaystyle{ V=Map(\RR,\RR), W=\left\{ f \in V : \text{ wykres ma asymptotę poziomą }\}}\) jest \(\displaystyle{ \text{ppl} V}\) bo
\(\displaystyle{ f(x) = 0 \subset V}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} c*f(x) = c* \lim_{x \to \infty} f(x)}\)
\(\displaystyle{ k(x) =f(x) +g(x) \Rightarrow \lim_{ x\to \infty } f(x) + \lim_{ x\to \infty } g(x) = \lim_{ x\to \infty }( g(x) + f(x) ) =\lim_{ x\to \infty } k(x)}\)-- 9 kwi 2017, o 14:35 --Mam jeszcze pytanie, to co wyżej odnośnie asymptot poziomych jest dobrze? Jeśli jedna funkcja będzie miała asymptotę w \(\displaystyle{ + \infty}\), a druga w \(\displaystyle{ - \infty}\) to będzie ok?
ODPOWIEDZ