Macierze - dowody z podprzestrzeniami

[matematykiv]

Cześć,
\(\displaystyle{ M_{n}}\) to przestrzeń liniowa macierzy \(\displaystyle{ n}\) stopnia o elementach rzeczywistych, ze standardowymi działaniami dodawania macierzy i mnożenia przez liczbę rzeczywistą.
Jak sprawdzić, czy zbiór macierzy nieosobliwych i zbiór macierzy diagonalnych to podprzestrzenie przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ M_{n}}\)?

[a4karo]

Pomyślałeś nad tym zadaniem, czy tylko napisałeś?

[matematykiv]

Pomyślałem. Trzeba pokazać że jeśli przykładowo \(\displaystyle{ U}\) to jedna macierz diagonalna i \(\displaystyle{ V}\) to druga macierz diagonalna, a \(\displaystyle{ M_{d}}\) to zbiór macierzy diagonalnych, to \(\displaystyle{ \alpha U + \alpha V \in M_{d}}\), tak?

[a4karo]

Tak

[matematykiv]

No właśnie.. I jak to pokazać? Wiadomo, że jak się doda dwie macierze diagonalne to dalej dostaniemy diagonalna, jak ja przemnożymy przez skalar to dalej będzie diagonalna..

[miodzio1988]

No to tyle wystarczy szczerze mówiąc.

[matematykiv]

A dlaczego w przypadku macierzy antysymetrycznych takie wytłumaczenie słowne praktycznie identyczne jak powyższe nie wystarcza i trzeba zapisać:

\(\displaystyle{ A^{T} = -A

B^{T} = -B

(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} = -A + (-B) = -(A+B)

(\alpha A)^{T} = \alpha A^{T} = \alpha (-A) = - (\alpha A)}\)
Czyli zbiór macierzy antysymetrycznych to ppl \(\displaystyle{ M_{n}}\)

To moja notatka z ćwiczeń. Napisanie, że macierz antysymetryczna to jakaś macierz kwadratowa i reszta jak w poście wyżej by nie wystarczyło?

[miodzio1988]

Napisanie, że macierz antysymetryczna to jakaś macierz kwadratowa i reszta jak w poście wyżej by nie wystarczyło?

Oczywiście, że nie. Są dowody oczywiste, są takie, gdzie musisz kilka rzeczy jednak policzyć.

[matematykiv]

A mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego w tym przykładzie z macierzami symetrycznymi/antysymetrycznymi trzeba rozpisywać te transpozycje? Bo nie do końca rozumiem dlaczego to robimy (\(\displaystyle{ (A+B)^{T}}\)), a nie samo \(\displaystyle{ (A+B)}\).

[miodzio1988]

Jak wyjdziesz od samego \(\displaystyle{ A+B}\) to i tak musisz zaraz transponować przecież więc na jedno wychodzi

[matematykiv]

No ok, ale ja nie rozumiem dlaczego w ogóle je musimy transponować żeby pokazać, że to podprzestrzeń.

[miodzio1988]

z definicji macierzy antysymetrycznych to wynika

[matematykiv]

No tak, rozumiem, że \(\displaystyle{ A^{T} = - A}\). Ale opisując słowami, musimy sprawdzić czy suma dwóch macierzy (w tym przypadku kwadratowych, takich, że \(\displaystyle{ A^{T} = -A}\)) zawiera się w tym zbiorze macierzy, z którego wybraliśmy te dwie początkowe macierze). Ponadto musimy sprawdzić, czy macierz z tego zbioru przemnożona przez skalar dalej należy do naszego zbioru. To rozumiem.

Napisałbym, że \(\displaystyle{ A}\) to macierz antysymetryczna i \(\displaystyle{ B}\) to macierz antysymetryczna, czyli ich suma też jest macierzą antysymetryczną - i przy takim wyjaśnianiu nigdzie nie pojawia się transpozycja.. O to mi chodzi.

To dlaczego przy rozpisywaniu tego wkrada się nam tam transpozycja?