Pewna relacja

[vonblackowitz]

Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) na ciałem \(\displaystyle{ K}\). W zbiorze \(\displaystyle{ V}\) określamy relację \(\displaystyle{ \sim}\) przyjmując że dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in V}\) :

\(\displaystyle{ \alpha \sim \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta \in W}\)

Czy ktoś może rozpisać mi warunki na zwrotność, symetryczność i przechodniość, tzn. je sprawdzić czy zachodzą. Ja sam nie wiem do końca jak.

[leg14]

Pokaz swoje proby

[vonblackowitz]

Zwrotność

\(\displaystyle{ \alpha \sim \alpha}\)

Więc: \(\displaystyle{ \alpha \sim \alpha \Rightarrow \alpha - \alpha = 0 \in W}\)

Symetryczność:

\(\displaystyle{ \alpha \sim \beta \Rightarrow \beta \sim \alpha}\)

Więc: \(\displaystyle{ \alpha \sim \beta \Rightarrow \alpha - \beta = - ( \beta - \alpha)}\), a \(\displaystyle{ \beta \sim \alpha \Rightarrow \beta - \alpha}\)
I nie wiem co dalej?

[leg14]

Jakie sa wlasnosci podprzestrzeni liniowej?
Czy jesli \(\displaystyle{ a -b \in W}\) to \(\displaystyle{ b-a \in W}\)?
Symetrycznosc:
wiesz, ze \(\displaystyle{ a -b \in W \wedge b-c \in W}\) czy z tego wynika, ze \(\displaystyle{ a - c \in W}\)?
Wystarczy sobie przypomniec, ze jesli dwa elementy naleza do przestrzeni liniowej, to ich suma tez.

[Jan Kraszewski]

Symetrycznosc:
wiesz, ze \(\displaystyle{ a -b \in W \wedge b-c \in W}\) czy z tego wynika, ze \(\displaystyle{ a - c \in W}\)?

Raczej przechodniość.

JK

[leg14]

racja