Udowodnić, że odwzorowanie jest izomorfizmem.

[tangerine11]

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f: V(K) \rightarrow K^{n}}\) przyporządkowuje każdemu wektorowi \(\displaystyle{ v \in V}\)jego współrzędne względem ustalonej bazy.

Izomorfizm, czyli liniowość i bijekcja.
Czy liniowość też tu trzeba udowadniać?

Jeżeli chodzi o iniektywność, to wiem, że jest to równoznaczne z warunkiem \(\displaystyle{ Kerf=\left\{ \vec{0} \right\}}\)

Jeżeli chodzi o surjektywność, to pewnie trzeba wykazać że dla każdego wektora \(\displaystyle{ u}\) z przestrzeń i\(\displaystyle{ K^{n}}\) istnieje jakiś z V, że \(\displaystyle{ f(v)=u}\)

Tylko jak to porządnie zrobić?

[szw1710]

Mowa tu oczywiście o przestrzeni skończenie wymiarowej.

Mniej więcej o to chodzi. Każdy wektor przedstawia się jednoznacznie jako kombinacja liniowa wektorów bazowych. Jednoznaczność kombinacji świadczy o różnowartościowości. O surjektywności świadczy to, że każdy wektor można zapisać kombinacją wektorów bazowych.

Jeśli chcesz to zapisać, wyjdź od definicji odwzorowania injektywnego i potem od definicji odwzorowania surjektywnego.

Sama liniowość jest dość łatwa do pokazania.