dwusieczny wektor jednostkowy

[muchomorka]

Znajdź jednostkowy wektor dwusieczny wektorów \(\displaystyle{ \vec{a} = [-1,2,2]}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = [4,-8,8]}\)

Czy mam tu policzyć jakiś kąt czy dodać wektory...?
Proszę o podanie metody, muszę się tego szybko nauczyć

wektor jednostkowy \(\displaystyle{ \vec{a} = [-1/3, 2/3, 2/3]}\) ?
To samo zrobić z wektorem b i co dalej?

[a4karo]

A umiesz policzyć dwusieczną dwóch wektorów o takiej samej długości?
Wsk. Przyjrzyj się rombowi

[muchomorka]

Niestety nie rozumiem.
OK, przekątne romba są dwusiecznymi, ale w tym przypadku wektory mam różne.

[a4karo]

No to zrób tak, żeby były równe (tzn żeby długości były równe)

[AiDi]

muchomorka, przeczytaj proszę PW.

[muchomorka]

PW przeczytane, dzięki.

Policzyłam wektor jednostkowy drugi: \(\displaystyle{ \vec{b} = \left[ \frac{1}{3} , \frac{-2}{3}, \frac{2}{3}\right]}\), ale one mają inne znaki przy dwóch współrzędnych... W ogóle tego nie rozumiem.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thick,red,->] (0,0)--(1,3) node[above] {$\vec{a}$};
\draw[thick,blue,->] (0,0)--(9,3) node[above] {$\vec{b}$};
\draw[thick,green,->] (0,0)--(3,1) node[above] {$\vec{b_0}$};
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{b_0}|=|\vec{a}|}\)

potrafisz znaleźć dwusieczną wektorów \(\displaystyle{ \vac{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b_0}}\)?

[muchomorka]

Po kolei:
W poleceniu proszą o podanie wektorów jednostkowych. Wyliczam je. Skoro są jednostkowe, mają długość 1 i są równe. Mogę więc je dodać, żeby uzyskać dwusieczną. Jako że dwusieczna również ma być jednostkowa, liczę jej długość i podstawiam do wzoru.
\(\displaystyle{ \vec{a_0} + \vec{b_0} = \left[0,0,\frac{4}{3}\right] = \vec{c} \\
\left| \vec{c}\right| = \frac{3}{4} \left[0,0,1\right]}\)

tak blisko wyniku, ale ciągle coś nie tak

Jeśli mam dodać \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec {b_0}}\) to wychodzą ułamki, które później się nie skracają, a w zadaniu przecież specjalnie dobrane są proste liczby.

[a4karo]

Cała dyskusja jest bez sensu: wektory w zadaniu są wspólliniowe, więc wektor dwusieczny jest dowolnym wektorem prostopadłym.

[muchomorka]

Przepraszam, z tym, że naprawdę nie rozumiem, jak one mogą być współliniowe.
Wydawało mi się, że żeby tak było, po przemnożeniu wektorowym muszą być równe zero.


\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}& \vec{k}\\-1&2&2\\4&-8&8\end{array}\right| = \left[ 32, 0, 0\right]}\)

[a4karo]

Przepraszam, "widziałem" \(\displaystyle{ [4,-8,-8]}\).

Wróć do rysunku i popatrz, co z niego wynika.

Jak znajdziesz wektor, do przeskalować go tak, żeby miał długośc \(\displaystyle{ 1}\) pewnie potrafisz.

wektor jednostkowy \(\displaystyle{ \vec{a} = [-1/3, 2/3, 2/3]}\) ?

jak będziesz tym samym symbolem oznaczac różne rzeczy, to nigdy nie wyjdziesz z kłopotów.

Skoro są jednostkowe, mają długość \(\displaystyle{ 1}\) i są równe.

To nie jest prawda;


Wektor \(\displaystyle{ \vec{b_0}=[1,-2,2]}\), więc \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b_0}=[0,0,4]}\), a po unormowaniu \(\displaystyle{ [0,0,1]}\)

[muchomorka]

Wróciłam do tego momentu:

\(\displaystyle{ \vec{a_0} + \vec{b_0} = \left[0,0,\frac{4}{3}\right] = \vec{c}}\)

I widzę, że dalej mam jakąś bzdurę. No więc tak:
\(\displaystyle{ \vec{c_0} = \frac{3}{4} \left[ 0, 0,\frac{4}{3} \right] = \left[ 0, 0, 1\right]}\), co zdaje się - jest w końcu prawidłowe - dziękuję ślicznie