Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.

[tangerine11]

\(\displaystyle{ f: \RR\left[ x\right] _{2} \rightarrow \RR\left[ x\right] _{2}}\)

\(\displaystyle{ (f(p))(x) = (x^{2}+x)p(2)+(3x^{2}-x)p(1);}\)

Zadanie robię mocno niepewnie, a odpowiedzi nie mam, w dodatku zatrzymałam się przy bazie i prosiłabym o dalsze wskazówki.

\(\displaystyle{ Kerf=lin\{(x^{2}-3x+2)\}}\) - dobrze?
\(\displaystyle{ Imf=lin\{(7x^{2}+3x),(5x^{2}+x),(4x^{2})\}}\)

Nie wiem czy obraz w ogóle jest znaleziony poprawnie, a jeżeli tak, to co z liniową niezależnością takich wektorów? Czy gdybym chciała to sprawdzać macierzowo to mam wziąć wektory \(\displaystyle{ (7,3,0), (5,1,0), (4,0,0)}\)? Czy jak?

[Premislav]

tangerine11, i co z rozwiązaniem tego zadanka: 419427.htm


Dżądro masz dobrze, natomiast "Twoja" baza obrazu ma za dużo elementów (ten obraz ma przecież wymiar dwa na mocy twierdzenia o rzędzie).
Ja bym wywalił np. \(\displaystyle{ 4x^2.}\) Zauważ bowiem, że
\(\displaystyle{ 4x^2=-frac 1 2(7x^2+3x)+frac 3 2(5x^2+x)}\)

[tangerine11]

Hmm ale to czekaj, czyli obraz jest znaleziony źle?
Ale przecież wektory w obrazie nie muszą być liniowo niezależne, jeżeli chcę je przyjąć za bazę to wtedy muszą, więc jako baza to chyba byłyby wtedy te dwa.

A tak jasne, już się wypowiem odnośnie tamtego zadania

[Premislav]

Obraz jest dobrze (jak sądzę, znajdowałaś go, sprawdzając, na co przechodzą wektory rozpinające \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\), np. \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\)), ale ja podszedłem do tego tak, żeby już uzyskać bazę. Fakt, jakoś nieprzytomny byłem, bo prawdą jest, że obraz to
\(\displaystyle{ =lin\{(7x^{2}+3x),(5x^{2}+x),(4x^{2})\}}\), natomiast jeśli chcesz mieć bazę obrazu, to należy wywalić jeden wektor (to wiadomo od razu, bo jądro ma wymiar \(\displaystyle{ 1}\), zaś \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 3}\)).

[tangerine11]

Ok, wszystko jest dla mnie jasne, dziękuję za pomoc

A jeszcze - jak szybko sprawdziłeś liniową niezależność wyżej wymienionych wektorów? Wiem, że nie są (jak wspomniałeś - \(\displaystyle{ dimImf=2}\), jednak formalnie:
Po prostu szybko zauważyłeś że \(\displaystyle{ 4x^{2}}\) da się przedstawić jako kombinację liniową pozostałych?-- 25 mar 2017, o 12:30 --Mam kłopot jeszcze z jednym przykładem.

Znaleźć odwzorowanie liniowe, \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), gdy:

\(\displaystyle{ X=R^{2}}\)
\(\displaystyle{ Y=R^{3}}\)
\(\displaystyle{ Kerf=\left\{ {(x,0): x\in R}\right\}}\)
\(\displaystyle{ Imf=\left\{ {(x,y,z): 2x=3y=6z}\right\}}\)

Mam:
\(\displaystyle{ Kerf=lin\left\{ {(1,0)}\right\} \\
Imf=lin\left\{ {(3,2,1)}\right\}}\)

Potrzebuję bazy złożonej z dwóch wektorów i wartości odwzorowań na wektorach z bazy.
Tylko jak sobie tą bazę ustalić?

[blade]

Uzupełnij jądro do bazy (np. wektorem \(\displaystyle{ (0,1)}\)), wektor którym je uzupełnisz będzie przechodził na Twój obraz i takich odwzorowań jest oczywiście nieskończenie wiele, więc dorzuć jakiś parametr do odwzorowania.

[tangerine11]

Dobrze, czyli ustalam
\(\displaystyle{ v _{1} = (1,0) \\
f(v_{1}) = (0,0,0) \\

v_{2} = (0,1) \\
f(v_{2}) = (3,2,1)}\)

Moja baza to wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\)

I mam że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ u=(x,y) \in R^{2} f(u)=(3y,2y,y)}\) i to będzie odpowiedź to zadania, zgadza sie?

[blade]

Tak, to jest jedno z rozwiązań.
Zauważ, że jeśli weźmiemy sobie jakieś, dowolne, \(\displaystyle{ w \neq 0}\), to

\(\displaystyle{ f\left(\begin{array}{c}x\\y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3wy\\2wy\\wy\ \end{array}\right)}\),
polecam stosować taki pionowy zapis, wtedy ciężko jest się pomylić przy przepisywaniu.

[tangerine11]

Jasne, wiem że moje rozwiązanie jest dla \(\displaystyle{ w=1}\), a możliwości jest oczywiście nieskończenie wiele

Miałabym jeszcze jedno, krótkie pytanie. Jeżeli mam zadanie polegające na sprawdzeniu, czy podane 4 wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\) i zaczynam wyznaczać współczynniki dowolnego wektora, dwa wiersze macierzy się zerują, okazuje się że w rozwiązaniu dwa współczynniki trzeba przyjąć za parametr.
Czy to oznacza, że wektory NIE generują tej przestrzeni?
No bo myślę sobie tak, że wektor jest jakoś tam sparametryzowany, więc nie może być dowolny