Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
\(\displaystyle{ f: \RR\left[ x\right] _{2} \rightarrow \RR\left[ x\right] _{2}}\)
\(\displaystyle{ (f(p))(x) = (x^{2}+x)p(2)+(3x^{2}-x)p(1);}\)
Zadanie robię mocno niepewnie, a odpowiedzi nie mam, w dodatku zatrzymałam się przy bazie i prosiłabym o dalsze wskazówki.
\(\displaystyle{ Kerf=lin\{(x^{2}-3x+2)\}}\) - dobrze?
\(\displaystyle{ Imf=lin\{(7x^{2}+3x),(5x^{2}+x),(4x^{2})\}}\)
Nie wiem czy obraz w ogóle jest znaleziony poprawnie, a jeżeli tak, to co z liniową niezależnością takich wektorów? Czy gdybym chciała to sprawdzać macierzowo to mam wziąć wektory \(\displaystyle{ (7,3,0), (5,1,0), (4,0,0)}\)? Czy jak?
\(\displaystyle{ (f(p))(x) = (x^{2}+x)p(2)+(3x^{2}-x)p(1);}\)
Zadanie robię mocno niepewnie, a odpowiedzi nie mam, w dodatku zatrzymałam się przy bazie i prosiłabym o dalsze wskazówki.
\(\displaystyle{ Kerf=lin\{(x^{2}-3x+2)\}}\) - dobrze?
\(\displaystyle{ Imf=lin\{(7x^{2}+3x),(5x^{2}+x),(4x^{2})\}}\)
Nie wiem czy obraz w ogóle jest znaleziony poprawnie, a jeżeli tak, to co z liniową niezależnością takich wektorów? Czy gdybym chciała to sprawdzać macierzowo to mam wziąć wektory \(\displaystyle{ (7,3,0), (5,1,0), (4,0,0)}\)? Czy jak?
Ostatnio zmieniony 24 mar 2017, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{, \}.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
tangerine11, i co z rozwiązaniem tego zadanka: 419427.htm
Dżądro masz dobrze, natomiast "Twoja" baza obrazu ma za dużo elementów (ten obraz ma przecież wymiar dwa na mocy twierdzenia o rzędzie).
Ja bym wywalił np. \(\displaystyle{ 4x^2.}\) Zauważ bowiem, że
\(\displaystyle{ 4x^2=-frac 1 2(7x^2+3x)+frac 3 2(5x^2+x)}\)
Dżądro masz dobrze, natomiast "Twoja" baza obrazu ma za dużo elementów (ten obraz ma przecież wymiar dwa na mocy twierdzenia o rzędzie).
Ja bym wywalił np. \(\displaystyle{ 4x^2.}\) Zauważ bowiem, że
\(\displaystyle{ 4x^2=-frac 1 2(7x^2+3x)+frac 3 2(5x^2+x)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Hmm ale to czekaj, czyli obraz jest znaleziony źle?
Ale przecież wektory w obrazie nie muszą być liniowo niezależne, jeżeli chcę je przyjąć za bazę to wtedy muszą, więc jako baza to chyba byłyby wtedy te dwa.
A tak jasne, już się wypowiem odnośnie tamtego zadania
Ale przecież wektory w obrazie nie muszą być liniowo niezależne, jeżeli chcę je przyjąć za bazę to wtedy muszą, więc jako baza to chyba byłyby wtedy te dwa.
A tak jasne, już się wypowiem odnośnie tamtego zadania
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Obraz jest dobrze (jak sądzę, znajdowałaś go, sprawdzając, na co przechodzą wektory rozpinające \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\), np. \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\)), ale ja podszedłem do tego tak, żeby już uzyskać bazę. Fakt, jakoś nieprzytomny byłem, bo prawdą jest, że obraz to
\(\displaystyle{ =lin\{(7x^{2}+3x),(5x^{2}+x),(4x^{2})\}}\), natomiast jeśli chcesz mieć bazę obrazu, to należy wywalić jeden wektor (to wiadomo od razu, bo jądro ma wymiar \(\displaystyle{ 1}\), zaś \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 3}\)).
\(\displaystyle{ =lin\{(7x^{2}+3x),(5x^{2}+x),(4x^{2})\}}\), natomiast jeśli chcesz mieć bazę obrazu, to należy wywalić jeden wektor (to wiadomo od razu, bo jądro ma wymiar \(\displaystyle{ 1}\), zaś \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 3}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Ok, wszystko jest dla mnie jasne, dziękuję za pomoc
A jeszcze - jak szybko sprawdziłeś liniową niezależność wyżej wymienionych wektorów? Wiem, że nie są (jak wspomniałeś - \(\displaystyle{ dimImf=2}\), jednak formalnie:
Po prostu szybko zauważyłeś że \(\displaystyle{ 4x^{2}}\) da się przedstawić jako kombinację liniową pozostałych?-- 25 mar 2017, o 12:30 --Mam kłopot jeszcze z jednym przykładem.
Znaleźć odwzorowanie liniowe, \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), gdy:
\(\displaystyle{ X=R^{2}}\)
\(\displaystyle{ Y=R^{3}}\)
\(\displaystyle{ Kerf=\left\{ {(x,0): x\in R}\right\}}\)
\(\displaystyle{ Imf=\left\{ {(x,y,z): 2x=3y=6z}\right\}}\)
Mam:
\(\displaystyle{ Kerf=lin\left\{ {(1,0)}\right\} \\
Imf=lin\left\{ {(3,2,1)}\right\}}\)
Potrzebuję bazy złożonej z dwóch wektorów i wartości odwzorowań na wektorach z bazy.
Tylko jak sobie tą bazę ustalić?
A jeszcze - jak szybko sprawdziłeś liniową niezależność wyżej wymienionych wektorów? Wiem, że nie są (jak wspomniałeś - \(\displaystyle{ dimImf=2}\), jednak formalnie:
Po prostu szybko zauważyłeś że \(\displaystyle{ 4x^{2}}\) da się przedstawić jako kombinację liniową pozostałych?-- 25 mar 2017, o 12:30 --Mam kłopot jeszcze z jednym przykładem.
Znaleźć odwzorowanie liniowe, \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), gdy:
\(\displaystyle{ X=R^{2}}\)
\(\displaystyle{ Y=R^{3}}\)
\(\displaystyle{ Kerf=\left\{ {(x,0): x\in R}\right\}}\)
\(\displaystyle{ Imf=\left\{ {(x,y,z): 2x=3y=6z}\right\}}\)
Mam:
\(\displaystyle{ Kerf=lin\left\{ {(1,0)}\right\} \\
Imf=lin\left\{ {(3,2,1)}\right\}}\)
Potrzebuję bazy złożonej z dwóch wektorów i wartości odwzorowań na wektorach z bazy.
Tylko jak sobie tą bazę ustalić?
-
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Uzupełnij jądro do bazy (np. wektorem \(\displaystyle{ (0,1)}\)), wektor którym je uzupełnisz będzie przechodził na Twój obraz i takich odwzorowań jest oczywiście nieskończenie wiele, więc dorzuć jakiś parametr do odwzorowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Dobrze, czyli ustalam
\(\displaystyle{ v _{1} = (1,0) \\
f(v_{1}) = (0,0,0) \\
v_{2} = (0,1) \\
f(v_{2}) = (3,2,1)}\)
Moja baza to wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\)
I mam że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ u=(x,y) \in R^{2} f(u)=(3y,2y,y)}\) i to będzie odpowiedź to zadania, zgadza sie?
\(\displaystyle{ v _{1} = (1,0) \\
f(v_{1}) = (0,0,0) \\
v_{2} = (0,1) \\
f(v_{2}) = (3,2,1)}\)
Moja baza to wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\)
I mam że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ u=(x,y) \in R^{2} f(u)=(3y,2y,y)}\) i to będzie odpowiedź to zadania, zgadza sie?
-
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Tak, to jest jedno z rozwiązań.
Zauważ, że jeśli weźmiemy sobie jakieś, dowolne, \(\displaystyle{ w \neq 0}\), to
\(\displaystyle{ f\left(\begin{array}{c}x\\y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3wy\\2wy\\wy\ \end{array}\right)}\),
polecam stosować taki pionowy zapis, wtedy ciężko jest się pomylić przy przepisywaniu.
Zauważ, że jeśli weźmiemy sobie jakieś, dowolne, \(\displaystyle{ w \neq 0}\), to
\(\displaystyle{ f\left(\begin{array}{c}x\\y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3wy\\2wy\\wy\ \end{array}\right)}\),
polecam stosować taki pionowy zapis, wtedy ciężko jest się pomylić przy przepisywaniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Znaleźć Kerf, Imf, bazę i wymiar następującego odwzorowania.
Jasne, wiem że moje rozwiązanie jest dla \(\displaystyle{ w=1}\), a możliwości jest oczywiście nieskończenie wiele
Miałabym jeszcze jedno, krótkie pytanie. Jeżeli mam zadanie polegające na sprawdzeniu, czy podane 4 wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\) i zaczynam wyznaczać współczynniki dowolnego wektora, dwa wiersze macierzy się zerują, okazuje się że w rozwiązaniu dwa współczynniki trzeba przyjąć za parametr.
Czy to oznacza, że wektory NIE generują tej przestrzeni?
No bo myślę sobie tak, że wektor jest jakoś tam sparametryzowany, więc nie może być dowolny
Miałabym jeszcze jedno, krótkie pytanie. Jeżeli mam zadanie polegające na sprawdzeniu, czy podane 4 wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\) i zaczynam wyznaczać współczynniki dowolnego wektora, dwa wiersze macierzy się zerują, okazuje się że w rozwiązaniu dwa współczynniki trzeba przyjąć za parametr.
Czy to oznacza, że wektory NIE generują tej przestrzeni?
No bo myślę sobie tak, że wektor jest jakoś tam sparametryzowany, więc nie może być dowolny