Wykazać równość

[eqsin]

Mam wykazać równość i nie wiem jak to przekształcić (od czego zacząć) jakies wzory skróconego mnożenia, podnieść do kwadratu/sześcianu, sześcian nie działa, albo cos zle robię:
\(\displaystyle{ 4= \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+ \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }}\)

Proszę o pomoc.

[Premislav]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 20+14\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^3}\) oraz \(\displaystyle{ 20-14\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^3}\)

-- 22 mar 2017, o 14:09 --

Przyszło mi do głowy, że to trochę z kosmosu wzięte, więc zaproponuję jeszcze inne rozwiązanie:
niech \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}, b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}}\)
Wówczas widzimy, że
\(\displaystyle{ a^3+b^3=40\\ ab=2}\)
Ale ze wzoru skróconego mnożenia mamy \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)}\)
Podstawiając w tej równości \(\displaystyle{ a^3+b^3=40}\) i \(\displaystyle{ ab=2}\) oraz przenosząc wszystko na jedną stronę, otrzymujemy, że liczba \(\displaystyle{ a+b}\) jest pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-6x-40}\)
Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych i z twierdzenia Bezouta wynika, że \(\displaystyle{ W(x)=(x-4)(x^2+4x+10)=(x-4)((x+2)^2+6)}\). Zatem liczba \(\displaystyle{ 4}\) to jedyny pierwiastek rzeczywisty wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Stąd płynie wniosek, że \(\displaystyle{ a+b=4}\), c.n.d.

[eqsin]

Dziękuje pięknie, to pierwsze juz by mi wystarczyło wystarczyło.
Szybko i dobrze zrobione.