Problem ze znalezieniem bazy Jordana dla endomorfizmu

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Zelazny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 11 gru 2015, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: N/A
Podziękował: 8 razy

Problem ze znalezieniem bazy Jordana dla endomorfizmu

Post autor: Zelazny »

Szukam bazy Jordana dla \(\displaystyle{ \phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \phi((x_1,x_2,x_3))=(4x_1-x_2,4x_1,8x_1-4x_2+2x_3)}\). Dostaję \(\displaystyle{ w_\phi(\lambda)=(2-\lambda)^3}\), \(\displaystyle{ r((A-2I)^0)-r((A-2I)^1)=3-1=2}\) i macierz Jordana ma mieć dwie klatki o rozmiarze \(\displaystyle{ \ge 1}\). Wybieram jedną z możliwych postaci Jordana
\(\displaystyle{ M(\phi)_{\mathcal{A}}=
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}}\)

Z tego wiem, że dla wektorów z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) musimy mieć
\(\displaystyle{ \phi(\alpha_1)=2\alpha_1}\)
\(\displaystyle{ \phi(\alpha_2)=\alpha_1+2\alpha_2}\)
\(\displaystyle{ \phi(\alpha_3)=2\alpha_3}\)
To znaczy, że \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_3}\) to wektory własne, np.
\(\displaystyle{ \alpha_1=(1,2,0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha_3=(0,0,1)}\)
Teraz
\(\displaystyle{ \phi(\alpha_2)=\alpha_1+2\alpha_2}\)
\(\displaystyle{ \phi(\alpha_2)-2\alpha_2=\alpha_1}\)
\(\displaystyle{ \phi(\alpha_2)-2id(\alpha_2)=\alpha_1}\)
\(\displaystyle{ (\phi-2id)(\alpha_2)=\alpha_1}\)
czyli
\(\displaystyle{ (A-2I)\alpha_2=\alpha_1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
4 & -2 & 0 \\
8 & -4 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0 \\
\end{bmatrix}}\)

ale to nie ma rozwiązania. Co robię źle?
karakuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 60 razy

Problem ze znalezieniem bazy Jordana dla endomorfizmu

Post autor: karakuku »

Weź jako \(\displaystyle{ \alpha_2}\) wektor własny ale należący do obrazu przekształcenia \(\displaystyle{ (\phi-2id)}\)
ODPOWIEDZ