Macierz Jordana
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Macierz Jordana
Mam pytanie, jak należy postępować, aby wyznaczyć macierz Jordana z macierzy \(\displaystyle{ A}\) wymiaru \(\displaystyle{ 4 \times 4}\), jeśli wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ \left( \lambda-1\right)^4}\)?
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Macierz Jordana
Możemy to zrobić dwojako:
1) Mozna znaleźć podprzestrzeń własną i sprawdzić jej wymiar. Wymiar tej podprzestrzeni = liczba klatek Jordana. Zatem jeśli liczba klatek wynosi 1,3 lub 4 mamy tylko jedną możliwość (z dokładnością do kolejności) na macierz Jordana.
Dla wymiaru 1: jedna klatka 4x4.
Dla wymiaru 3: dwie klatki 1x1 i jedna 2x2.
Dla wymiaru 4: cztery klatki 1x1.
Gdy wymiar wynosi 2, to mamy dwie możliwości: albo mamy dwie klatki 2x2 albo jedną klatkę 1x1, a drugą 3x3.
Możemy wyznaczyć wektory własne dla tej wartości własnej. Będą to dwa wektory: \(\displaystyle{ v_1,v_2}\). Następnie poszukamy wektorów pseudowłasnych \(\displaystyle{ v_3,v_4}\).
Jeśli istnieją takowe spełniające: \(\displaystyle{ (A-\lambda I) v_3=v_1, \ (A-\lambda I) v_4= v_2}\), to mamy dwie klatki 2x2. Jeśli natomiast, któraś z równości nie zachodzi, to powinny istnieć takie wektory \(\displaystyle{ v_3,v_4}\), które spełniają: \(\displaystyle{ (A-\lambda I) v_3=v_1, \ (A-\lambda I) v_4= v_3}\) lub
\(\displaystyle{ (A-\lambda I) v_3=v_2, \ (A-\lambda I) v_4= v_3}\) i wtedy mamy klatki: 1x1 oraz 3x3.
Oczywiście wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) wybieramy tak, aby należały do obrazu \(\displaystyle{ A - \lambda I}\).
2) Możemy skorzystać z poniższego twierdzenia:
Niech \(\displaystyle{ q_m = r((A-\lambda I)^{m-1})-r((A-\lambda I)^m)}\), gdzie \(\displaystyle{ r(C)}\) - rząd macierzy C.
Wówczas:
- liczba klatek wymiaru \(\displaystyle{ \ge m}\) wynosi \(\displaystyle{ q_m}\)
- liczba klatek wymiaru \(\displaystyle{ m}\) wynosi \(\displaystyle{ q_m - q_{m+1}}\).
Zatem wystarczy, że policzymy \(\displaystyle{ q_1,q_2,q_3}\) i będziemy wszystko wiedzieć.
Zauważmy jednak, że wymagana jest wiedza na temat samej macierzy A.
1) Mozna znaleźć podprzestrzeń własną i sprawdzić jej wymiar. Wymiar tej podprzestrzeni = liczba klatek Jordana. Zatem jeśli liczba klatek wynosi 1,3 lub 4 mamy tylko jedną możliwość (z dokładnością do kolejności) na macierz Jordana.
Dla wymiaru 1: jedna klatka 4x4.
Dla wymiaru 3: dwie klatki 1x1 i jedna 2x2.
Dla wymiaru 4: cztery klatki 1x1.
Gdy wymiar wynosi 2, to mamy dwie możliwości: albo mamy dwie klatki 2x2 albo jedną klatkę 1x1, a drugą 3x3.
Możemy wyznaczyć wektory własne dla tej wartości własnej. Będą to dwa wektory: \(\displaystyle{ v_1,v_2}\). Następnie poszukamy wektorów pseudowłasnych \(\displaystyle{ v_3,v_4}\).
Jeśli istnieją takowe spełniające: \(\displaystyle{ (A-\lambda I) v_3=v_1, \ (A-\lambda I) v_4= v_2}\), to mamy dwie klatki 2x2. Jeśli natomiast, któraś z równości nie zachodzi, to powinny istnieć takie wektory \(\displaystyle{ v_3,v_4}\), które spełniają: \(\displaystyle{ (A-\lambda I) v_3=v_1, \ (A-\lambda I) v_4= v_3}\) lub
\(\displaystyle{ (A-\lambda I) v_3=v_2, \ (A-\lambda I) v_4= v_3}\) i wtedy mamy klatki: 1x1 oraz 3x3.
Oczywiście wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) wybieramy tak, aby należały do obrazu \(\displaystyle{ A - \lambda I}\).
2) Możemy skorzystać z poniższego twierdzenia:
Niech \(\displaystyle{ q_m = r((A-\lambda I)^{m-1})-r((A-\lambda I)^m)}\), gdzie \(\displaystyle{ r(C)}\) - rząd macierzy C.
Wówczas:
- liczba klatek wymiaru \(\displaystyle{ \ge m}\) wynosi \(\displaystyle{ q_m}\)
- liczba klatek wymiaru \(\displaystyle{ m}\) wynosi \(\displaystyle{ q_m - q_{m+1}}\).
Zatem wystarczy, że policzymy \(\displaystyle{ q_1,q_2,q_3}\) i będziemy wszystko wiedzieć.
Zauważmy jednak, że wymagana jest wiedza na temat samej macierzy A.