wektory współliniowe i prostopadłe

[NataliaAnna]

Wektory U,V są jednocześnie współliniowe i prostopadłe.Pokazać,że wtedy jeden z nich jest wektorem zerowym.

czy wystarczy w tym zadaniu do iloczynu skalarnego i wyznacznika podstawić np za V [0,0] i pokazać,że niezależnie od wartości U wynik w obu przypadkach da 0,co świadczy o tym, że są jednocześnie współliniowe i prostopadłe?czy potrzeba tu większych kombinacji?

[tomwanderer]

Ależ w ten sposób pokażesz implikację w przeciwną stronę. A poza tym w treści zadania nie ma nic na temat tego, że \(\displaystyle{ u,v \in \mathbb{R}^2}\).

[NataliaAnna]

to źle czy dobrze?-- 14 mar 2017, o 00:17 --należą, tylko w tej przestrzeni robimy w chwili obecnej algebrę.

[tomwanderer]

W zadaniu jest mowa o implikacji:

\(\displaystyle{ (u \parallel v \ \wedge \ u \perp v) \Rightarrow (u=0 \ \vee \ v=0)}\)

Ty natomiast pytasz o to, czy wystarczy pokazać:

\(\displaystyle{ (u=0 \ \vee \ v=0) \Rightarrow (u \parallel v \ \wedge \ u \perp v)}\)

[NataliaAnna]

więc jak to wykazać?

[Premislav]

Dowód przechodzi dla dowolnej przestrzeni unitarnej (niestety nie wiem, co miałaby oznaczać "prostopadłość" w nieunitarnej).
Warunek prostopadłości: \(\displaystyle{ \left\langle u,v\right\rangle=0}\) (zerowanie się iloczynu skalarnego). Warunek współliniowości: istnieją takie skalary \(\displaystyle{ \alpha, \beta,}\), przy czym (to ważne) nie są one równocześnie zerami, że \(\displaystyle{ \alpha u+\beta v=\vec 0}\).

Zatem \(\displaystyle{ 0 = \left\langle \alpha u+\beta v, \alpha u+\beta v\right\rangle=\dots}\)
(proszę dokończyć; rozpisz z własności iloczynu skalarnego).

[NataliaAnna]

szczerze, niewiele mi to powiedziało

[Premislav]

Szczerze, to Twoje studia, a nie moje. Wystarczy znać podstawowe własności iloczynu skalarnego, takie jak dwuliniowość (no, jak nad \(\displaystyle{ \CC}\), to półtoraliniowość). Masz je np. tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny