Formy kwadratowe

[nebhe]

Jako, że na egzaminie zawsze pojawiają się formy kwadratowe, a ja kompletnie nie wiem o co chodzi to mógłby ktoś pomóc z rozwiązaniem z podpowiedziami albo ma jakiś materiał który fajnie tłumaczy formy kwadratowe?
a) dla jakich \(\displaystyle{ t \in R}\) forma kwadratowa \(\displaystyle{ q : R^{3} \rightarrow R}\), \(\displaystyle{ q(x_{1},x_{2},x_{3})=tx_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}}\) jest dodatnio określona?
b) Czy forma kwadratowa \(\displaystyle{ p : R^{3} \rightarrow R, p(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}}\) jest ujemnie półokreślona?

Zależy mi na tym aby dowiedzieć się warunków na to aby forma była dodatno określona, półokreślona, ujemna itd oraz aby dowiedzieć się jak wyznaczać te rzeczy, które odpowiadają za te warunki.

[janusz47]

a)

Macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ q}\):

\(\displaystyle{ M_{q}(x_{1},x_{2},x_{3})= \left [\begin{matrix}t&1&0\\1&0&1\\ 0&1&0\end{matrix}\right].}\)

Wyznaczniki macierzy:

\(\displaystyle{ d_{1}=t, \ \ d_{2}= -1<0, \ \ d_{3}=-t.}\)

Dla \(\displaystyle{ t\in \emptyset}\) forma kwadratowa jest dodatnio określona.


b)
Macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ p}\):

\(\displaystyle{ M_{p}(x_{1},x_{2},x_{3})= \left [\begin{matrix}0&1&1\\1&0&1\\ 0&1&0\end{matrix}\right].}\)

\(\displaystyle{ d_{1}=0, \ \ d_{2}= -1, \ \ d_{3}= -1.}\)

Forma \(\displaystyle{ p}\) jest ujemnie półokreślona.