bazy, wymiary, zawieranie

[nebhe]

Rozwiązałem zadanie ale mam jedno pytanie i jakby ktoś mógł powiedzieć czy dobrze w ogóle zrobiłem.
Podprzestrzeń \(\displaystyle{ W \subset R^{5}}\) jest opisana układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}-2x_{4}+x_{5}=0 \\ 2x_{1}+4x_{2}-3x_{3}+x_{4}-2x_{5}=0 \\ 4x_{1}+8x_{2}-5x_{3}-3x_{4}+0x_{5}=0 \end{cases}}\)
a) Określić wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) i podać taką bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), w której wektor \(\displaystyle{ (2,-1,0,0,0)}\) ma wszystkie współrzędne równe \(\displaystyle{ 1}\).
b) Czy przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) zawiera się w \(\displaystyle{ U: {(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) : x_{3}-5x_{4}+4x_{5}=0} \subset R^{5}}\)? Odpowiedź uzasadnić.

a)\(\displaystyle{ W_{2}-2W_{1}, W_{3}-4W_{1} \rightarrow W_{1}+W_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-2&1\\2&4&-3&1&-2\\4&8&-5&-3&0\end{array}\right] \approx \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-2&1\\0&0&-1&5&-4\\0&0&-1&5&-4\end{array}\right] \approx \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-2&1\\0&0&-1&5&-4\end{array}\right] \approx \left[\begin{array}{ccccc}1&2&0&-7&5\\0&0&1&-5&4\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ dimW=2}\)
\(\displaystyle{ \left( \alpha_{1},\alpha_{2}\right) \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right) \Rightarrow \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\\0\\0\end{array}\right),\alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right)}\)

b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}-7x_{4}+5x_{5}=0 \\ x_{3}-5x_{4}+4x_{5}=0 \end{cases} \Rightarrow x_{3}=5x_{4}-4x_{5}, x_{1}=-2x_{2}+7x_{4}-5x_{5} \Rightarrow x_{2}\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\\0\\0\end{array}\right) + x_{4}\left(\begin{array}{c}7\\0\\5\\1\\0\end{array}\right) + x_{5}\left(\begin{array}{c}-5\\0\\-4\\0\\1\end{array}\right)}\)
I teraz przyjmująć te trzy wektory do równania wychodzi zawsze, że \(\displaystyle{ 0=0}\), czyli \(\displaystyle{ W \subset U}\), ale dlaczego wyszły 3 wektory skoro \(\displaystyle{ dimW=2}\)?

[pawlo392]

Czy \(\displaystyle{ dimW=2}\)?

[Premislav]

Istotnie, przekształcenia w pierwszej części a) są poprawne, ale \(\displaystyle{ \dim W=3}\), bo redukujemy ten układ do układu dwóch równań (liniowych oczywiście) liniowo niezależnych w przestrzeni o wymiarze 5, czyli
\(\displaystyle{ \dim W=5-2=3}\)

[nebhe]

A dlaczego nie?

[Premislav]

Czy twierdzisz, że będzie taki wymiar tej przestrzeni, ile jest niezależnych liniowo równań w układzie? To przecież bez sensu, na tej zasadzie gdyby w ogóle nie było równań, to miałbyś przestrzeń wymiaru zero (zamiast całego \(\displaystyle{ \RR^5}\)), a gdybyś miał np. układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=0\\x_2=0 \\x_3=0 \\x_4=0 \\x_5=0 \end{cases}}\),
to miałbyś przestrzeń pięciowymiarową... No heloł.

Im więcej (liniowo niezależnych!) równań, tym mniejszy wymiar, a nie na odwrót. Powinno o tym być jakieś twierdzenie na algebrze liniowej.

[pawlo392]

A dlaczego nie?

Co dlaczego nie?

[nebhe]

No tak, dzięki Premislav. Algebrę miałem jakiś czas temu, w dodatku zgubiłem wszystkie notatki