Wzór ogólny na macierze A^n

[alfacentaur]

Wyprowadź ogólny wzór na macierze z liczbami zespolonymi \(\displaystyle{ A^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
i & 1\\
0 & -i
\end{array}
\right]
\qquad}\)
A następnie udowodnij otrzymany wzór za pomocą indukcji matematycznej.
Proszę o pomoc

[Jan Kraszewski]

Policzyłeś \(\displaystyle{ A^2, A^3, A^4, A^5}\) i podjąłeś próby znalezienia zależności?

JK

[alfacentaur]

tak z trzema miejscami nie było problemu ale jednego nie umiem rozwiązać, \(\displaystyle{ Re(i ^{n-1} )}\) pasuje ale w dowodzie się nie zgadza.
\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
i ^{n} & ?\\
0 & i ^{3n}
\end{array}
\right]
\qquad}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ Re(i ^{n-1} )}\) pasuje

No jak pasuje, chyba coś źle mnożysz. W tym miejscu masz:

\(\displaystyle{ 1,0,i^2,0,i^4,0,...}\)

Postaraj się coś wymyślić, a jak nie, to:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ ?=\frac{1+(-1)^{n+1}}{i^{n-1}}}\)

JK