Norma macierzy indukowanej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Hubu999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 17 paź 2010, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 9 razy

Norma macierzy indukowanej

Post autor: Hubu999 »

Witam,
mam problem z wyliczeniem normy indukowanej macierzy. Zdana jest ona wzorem \(\displaystyle{ ||A||=max\left\{ \frac{||Ax||}{||x||} x\in\RR^N,x \neq 0\right\}=\left\{ max_{||x||=1}{||Ax||\right\}}\).
Jak to wyliczyc np dla macierzy:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}\)?

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam
samorajp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 18 lis 2008, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 11 razy

Norma macierzy indukowanej

Post autor: samorajp »

Tak dla upewnienia się - używasz wyżej normy drugiej?
Hubu999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 17 paź 2010, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 9 razy

Norma macierzy indukowanej

Post autor: Hubu999 »

Powiem szczerze, że nie jestem do końca pewny, podam pełną treść zadania to może to rozwieje wątpliwość. Wzór mam podany taki jak napisałem w pierwszym poście a dokładne polecenie to:

Przez normę macierzy rozumieć będziemy normę indukowaną przez normę Euklidesową wektorów. Znajdz normy i promienie spektralne macierzy.

Promień spektralny myślę, że nie bedzie problemem ale do jego polczenia również potrzebuje tej normy.
samorajp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 18 lis 2008, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 11 razy

Norma macierzy indukowanej

Post autor: samorajp »

Sam tego nie wiedziałem, ale w internetach znalazłem, że norma druga (Euklidesowa) macierzy, jest równa pierwiastkowi z największej wartości własnej macierzy \(\displaystyle{ A^T A.}\)

Popularnym sposobem na znalezienie wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ M}\) jest stworzenie macierzy \(\displaystyle{ M - \lambda I}\), czyli odjęcie od wyrazów na głównej przekątnej niewiadomej \(\displaystyle{ \lambda}\), a następnie policzenie wyznacznika tej macierzy. Wyznacznik ten będzie wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ \lambda}\). Miejsca zerowe tego wielomianu (nosi on nazwę wielomianu charakterystycznego) są wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ M}\).

Taką procedurę możesz zastosować do macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\), wtedy pierwiastek kwadratowy z największego z miejsc zerowych jest odpowiedzią na pytanie o normę macierzy \(\displaystyle{ A}\).-- 18 lutego 2017, 22:31 --Dodatek.

Odpowiedź możesz sprawdzić w WolframAlpha:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=n
... ,1,2%5D%5D

Kroki pośrednie również możesz tam sprawdzić (np. postać wielomianu charakterystycznego).
Przykład:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=m
... ,1,2%5D%5D
Hubu999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 17 paź 2010, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 9 razy

Norma macierzy indukowanej

Post autor: Hubu999 »

Dzieki wielkie za opowiedź, jak policzyć wartości własne to potrafię. Tylko, że z tego co wiem inny jest wzór na normę macierzy symetrycznej a inny dla macierzy niesymetrycznej. Ten co mi podałeś czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\lambda_{max}(A^{T}A)}}\) tyczy się symetrycznej czy niesymetrycznej? W tym przykładzie co podałem macierz jest symetryczna lecz znalazłem jeszcze wzór, że dla symetrycznych i rzeczywistych bedzie to \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}A\right|}\)
samorajp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 18 lis 2008, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 11 razy

Norma macierzy indukowanej

Post autor: samorajp »

Nie dam sobie ręki uciąć, ale moja intuicja mówi tak:

Jeśli macierz jest symetryczna, to wszystkie wartości własne są rzeczywiste, więc Twój wzór \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}A\right|}\), ma sens i jest lepszy, bo wymaga mniej liczenia.

Natomiast wzór podany przeze mnie działa w ogólnym przypadku i korzysta z Twojego, wytwarzając najpierw macierz symetryczną \(\displaystyle{ A^T A}\), a potem stosuje dla niej \(\displaystyle{ \left| \lambda_{max}B\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ B=A^T A}\). Pierwiastek jest potrzebny, bo wartości własne \(\displaystyle{ B}\), będą podniesione do kwadratu (względem tego jakie były w \(\displaystyle{ A}\)). Jak widać, jest droższy i wymaga więcej liczenia, jednak jest ogólniejszy. Możesz go stosować również dla macierzy symetrycznej.

Podsumowując: wzór podany przeze mnie możesz stosować w przypadku każdej macierzy, a podany przez Ciebie dla macierzy symetrycznych.
ODPOWIEDZ