Macierz z parametrem

[kinia7]

Macierz, z której należy wyliczyc prarametr \(\displaystyle{ \ p}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccrcl}1&2&-1&|&3\\2&-3&1&|&1\\8&-5&1&|&p\\1&1&-1&|&0\end{array}\right]}\)

Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ \det U=-p+9}\)
czyli \(\displaystyle{ \ p=9}\)

dla \(\displaystyle{ p}\)
Wyznacznik: \(\displaystyle{ \ |A_1|= \begin{vmatrix}1&2&-1\\2&-3&1\\8&-5&1\end{vmatrix}=0}\)

Wyznacznik: \(\displaystyle{ \ |U_1|=\begin{vmatrix}2&-1&3\\-3&1&1\\-5&1&9\end{vmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ rzA_1=2 \\
rzU_1=2}\)
(liczba niewiadomych) \(\displaystyle{ \ n=3}\)
(rząd macierzy) \(\displaystyle{ r=2}\)
\(\displaystyle{ r<n}\)
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ale w odp jest inna odpowiedz, mianowicie dla \(\displaystyle{ p=9}\) układ ma jedno rozwiązanie. Po innych obliczeniach wyszedł mi wynik.
Wyznacznik: \(\displaystyle{ \ |A_2|= \begin{vmatrix}2&-3&1\\8&-5&1\\1&1&-1\end{vmatrix}=-6}\)

Wyznacznik: \(\displaystyle{ \ |U_2|=\begin{vmatrix}-3&1&1\\-5&1&9\\1&-1&0\end{vmatrix} =-14}\)

\(\displaystyle{ rzA_2=3 \\
rzU_2=3 \\
n=3 \\
r=3}\)
Układ ma jedno rozwiązanie.
Moje pytanie brzmi: Co sprawia, że wynik, w których wychodzi mi nieskończenie wiele rozwiązań jest zły? Na co mam zwrócić uwagę, gdy rozwiązuje taki przykład? Wiadomo, na kolokwium nie będę miała odpowiedzi.

[kerajs]

Macierz, z której należy wyliczyc prarametr \(\displaystyle{ \ p}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccrcl}1&2&-1&|&3\\2&-3&1&|&1\\8&-5&1&|&p\\1&1&-1&|&0\end{array}\right]}\)

Przypuszczam że w zadaniu należy określić ilość rozwiązań układu w zależności od parametru p. Ewentualnie, także podać te rozwiązania.

Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ \ det U=-p+9}\)
czyli \(\displaystyle{ \ p=9}\)

Faktycznie, dla tego układu zamiast sprawdzać rząd macierzy głównej i uzupełnionej przez eliminację Gaussa, wygodniej jest stwierdzić kiedy układ jest sprzeczny. Tak jest gdy:
\(\displaystyle{ det (U) \neq 0 \Leftrightarrow p \in \RR \setminus \left\{ 9\right\}}\)

dla \(\displaystyle{ p}\)
Wyznacznik: \(\displaystyle{ \ |A_1|= \begin{vmatrix}1&2&-1\\2&-3&1\\8&-5&1\end{vmatrix}=0}\)

Wyznacznik: \(\displaystyle{ \ |U_1|=\begin{vmatrix}2&-1&3\\-3&1&1\\-5&1&9\end{vmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ rzA_1=2}\)
\(\displaystyle{ rzU_1=2}\)

To zbyt daleko wysunięty wniosek.
Aby sprawdzić wyznacznikami czy \(\displaystyle{ rz(A)=3}\) to musisz policzyć wszystkie możliwe (lub aż do uzyskania pierwszego niezerowego) wyznaczniki 3x3.
\(\displaystyle{ det(A_1)=0\\
det (A_2)=0\\
det(A_3) \neq 0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ rz(A)=rz(U)=3}\)
układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie).

Moje pytanie brzmi: Co sprawia, że wynik, w których wychodzi mi nieskończenie wiele rozwiązań jest zły? Na co mam zwrócić uwagę, gdy rozwiązuje taki przykład? Wiadomo, na kolokwium nie będę miała odpowiedzi.

Im większa macierz tym więcej wyznaczników musisz liczyć. Tu liczenie rzędu (choćby tylko dla \(\displaystyle{ p=9}\)) byłoby szybsze.

Ja bym robił tak:
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccrcl}1&2&-1&|&3\\2&-3&1&|&1\\8&-5&1&|&9\\1&1&-1&|&0\end{array}\right]=\\
\\=rz\left[\begin{array}{ccrcl}0&1&0&|&3\\3&-2&0&|&1\\9&-4&0&|&p\\1&1&-1&|&0\end{array}\right]=\\
\\=rz\left[\begin{array}{ccrcl}0&1&0&|&3\\3&0&0&|&7\\9&0&0&|&p+12\\1&0&-1&|&-3\end{array}\right]=\\
\\=rz\left[\begin{array}{ccrcl}0&1&0&|&3\\1&0&0&|& \frac{7}{3} \\0&0&0&|&p-9\\0&0&1&|&3+\frac{7}{3}\end{array}\right]=....}\)

Teraz widać dlaczego, aby stwierdzić że rząd jest 2, należy policzyć więcej niż jeden wyznacznik 3x3 z A ?
Trzeci, zerowy wiersz macierzy głównej zeruje te wyznaczniki trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ det(A_1)=det(A_2)=det(A_4)=0}\),
ale \(\displaystyle{ det(A_3) \neq 0}\).

PS
Założyłem, że \(\displaystyle{ A_i}\) to A po skreśleniu i-tego wiersza.