Wskazówka do zadania o znajdowaniu rozwiązań

[lord_vader000]

Witam. Jest takie oto równanie: \(\displaystyle{ x^{2}(y-1) + y^{2}(x-1)=1}\) i trzeba je rozwiązać w liczbach całkowitych. Próbowałem wyznaczyć jedną zmienną za pomocą drugiej używając delty, ale wymagałoby znalezienia wszystkich wartości wielomianu czwartego stopnia, które są kwadratami liczb całkowitych. Ze spostrzeżeń to jeszcze mam takie, że obie liczby nie mogą być jednocześnie ujemne, a gdy obie są dodatnie to spełnia tylko para \(\displaystyle{ (2, 1)}\) (ponieważ będzie większe/mniejsze). Zwinąć jakoś sensownie w kwadraty też jakoś mi się nie udało. Czy moglibyście dać mi jakąś wskazówkę do tego zadania?

[Premislav]

A czemu para \(\displaystyle{ (1,2)}\) miałaby nie spełniać?

Proponuję podstawić \(\displaystyle{ p=x+y, q=xy}\). Przypadek \(\displaystyle{ p=-2}\) łatwo odrzucamy, zaś dla \(\displaystyle{ p\neq -2}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ q= \frac{p^2+1}{p+2}}\).
Dla \(\displaystyle{ p}\) całkowitych dodatnich (czyli \(\displaystyle{ x+y>0}\)) łatwo pokazać, że jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ p=3, q=2}\), gdyż wówczas mamy \(\displaystyle{ p-2< \frac{p^2+1}{p+2} <p}\) (zatem \(\displaystyle{ (x,y)=(1,2) \vee (x,y)=(2,1)}\)). Przypadek \(\displaystyle{ p=-1}\) oraz \(\displaystyle{ p=-3, p=-4}\) odrzucamy ręcznie (niestety dłubanina), korzystając (w przypadku p=-1) \(\displaystyle{ p^2 \ge 4q \Leftrightarrow (x-y)^2 \ge 0}\) albo po prostu użerając się z równaniami kwadratowymi, zaś dla całkowitych \(\displaystyle{ p<-4}\) jest z kolei:
\(\displaystyle{ p-2> \frac{p^2+1}{p+2}>p-4}\)
i też mamy do rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{p^2+1}{p+2}=p-3}\) w całkowitych plus sprawdzenie, czy to daje jakieś rozwiązania w \(\displaystyle{ (x,y)}\) całkowitych.

Ostateczne rozwiązania (kwestii wiadomo jakiej ):
\(\displaystyle{ (x,y)=(1,2),(x,y)=(2,1)}\)

[lord_vader000]

Dzięki, zapamiętam pomysł z podstawianiem. To rozwala zadanie.

[Mruczek]

To jest zadanie 47 OM - II - 5:

We wzorcówce było inne podstawienie.