zbiór na płaszczyźnie

[marika331]

Witam,
i proszę o podpowiedź do zadania:
na płaszczyźnie \(\displaystyle{ OX _{1}X _{2}}\) zaznacz zbiór
\(\displaystyle{ \{x: \in \RR ^{2} \wedge x=a[1,0 ]+b[-2,1]+c[0,3] \wedge a+b+c=3 \wedge a,c \ge 0\}}\)

[SlotaWoj]

Podstaw \(\displaystyle{ b=3-a-c}\), rozdziel mnożenie względem dodawania i wykonaj działania na wektorach.

Ukryta treść:    

Wynikiem jest przesunięta „ćwierćpłaszczyzna”.

[marika331]

Dziękuję za podpowiedź.
Wykonałam to:
\(\displaystyle{ [3a+2c-6 -a+2c+3]}\)
I jak to zaznaczyć na płaszczyźnie?

[SlotaWoj]

Wynikiem ma być wektor na \(\displaystyle{ \RR^2}\) (dwuwymiarowy).

Ukryta treść:    

Ma być: \(\displaystyle{ a[...]+c[...]+[...]}\) .

[marika331]

To chyba tak
\(\displaystyle{ a[3 1] +b[2 2]+3[-2 1]}\)
Dobrze myślę?

[SlotaWoj]

Ma być: \(\displaystyle{ a[...\,,\,...]+c[...\,,\,...]+[...\,,\,...]}\) .

[marika331]

No pomyliłam się.
Jest
\(\displaystyle{ a[3,1]+c[2,2]+3[-2,1]}\)

[SlotaWoj]

Jest błąd. Ma być:

• \(\displaystyle{ a[3;{\red{\mathbf{-1}}}]+c[2;2]+3[-2;1]=a[3;{\red{\mathbf{-1}}}]+c[2;2]+[-6;3]}\)

Nb. ja też się pomyliłem i zbiorem nie będzie ćwierćpłaszczyzna.

Po prawej stronie masz kombinację liniową (o dodatnich współczynnikach) wektorów \(\displaystyle{ [3;-1]}\) i \(\displaystyle{ [2;2]}\) plus wektor przesunięcia. Wyciągnij wniosek.

Można pójść na skróty i przyjąć, że ww. wektory bazowe są zaczepione w punkcie \(\displaystyle{ (-6;3)}\) .

[marika331]

Wszystko rozumiem.
Tylko co dalej - przecież to będzie bardzo dużo tych wektorów:(
Niby w internecie jest wszystko, ale chcąc się czegoś nauczyć, to trudno coś znaleźć.

[SlotaWoj]

Tyle samo, co punktów w zbiorze, który trzeba zaznaczyć.

Wektor \(\displaystyle{ [{\red{3}};{\blue{\mathbf{-1}}}]}\) jest wektorem normalnym do prostej: \(\displaystyle{ {\red{3}}x{\blue{\mathbf{-1}}}y+C}\), a w postaci kierunkowej takiej: \(\displaystyle{ y=3x+C}\) . Jest zwrócony w prawo w dół, więc wszystkie kombinacje liniowe zawierające składową \(\displaystyle{ a[3,-1],\ a\ge0}\) będą ulokowane na lewo (lub poniżej) tej prostej. Podobne rozumowanie trzeba przeprowadzić dla składowej \(\displaystyle{ c[2;2]}\) kombinacji liniowej.

Wyrazy wolne równań prostych mają związek z ww. wektorem przesunięcia.

Edit:

Poprawiłem ewidentny błąd w określeniu kierunku wektora.

[marika331]

Wektor \(\displaystyle{ [2,2]}\)jest wektorem normalnym do prostej \(\displaystyle{ 2x+2y+c=0}\)
\(\displaystyle{ y=-x+ \frac{1}{2} C}\)
Jest zwrócony w lewo w górę. Wszystkie kombinacje \(\displaystyle{ c[2,2]}\) będą poniżej tej prostej.
A prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=x-2}\)
Dobrze myślę?
A czy wektor \(\displaystyle{ [3,-1]}\)nie jest skierowany w prawo w dół?

[SlotaWoj]

Wektor \(\displaystyle{ [2;2]}\) jest wektorem normalnym do prostej \(\displaystyle{ 2x{\red{-2}}y+C=0}\)
\(\displaystyle{ y=-2x+ \frac{1}{2} C}\)

Normalnym do prostej o równaniu ogólnym \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) jest wektor \(\displaystyle{ [A;B]}\) .

Uwaga! Poprawiłem swój poprzedni post. U Ciebie również jest błędnie określony (nazewnictwo) kierunek wektora.

Popraw błędy i zakończ rozwiązanie.

[a4karo]

1.jpg (31.19 KiB) Przejrzano 51 razy

A potem przesuń ten obrazek o wektor \(\displaystyle{ [-6,3]}\)

[marika331]

Dziękuję.
Więc kombinacje liniowe wektora \(\displaystyle{ a[-3,1]}\) będą powyżej prostej.
SlotaWoj pomylił się.

[SlotaWoj]

Tak, pomyliłem się. Było błędnie: w lewo, w dół i zmieniłem na na poprawne.
Rysunek A4karo jest lepszy niż 10 moich wyjaśnień. Przyglądnij mu się uważnie i zapamiętaj.
A ten wektor \(\displaystyle{ [-3;1]}\) to skąd?