Jak rozwiązuje się formy kwadratowe?

[pierwiastekzpi]

Jak się rozwiązuje formy kwadratowe? Nie chodzi mi tylko i wyłącznie o algorytm ale o wyjaśnienie co się konkretnie robi. Wiem że jak jest forma \(\displaystyle{ Q(X)=ax ^{2}+by ^{2}+cz ^{2}+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j}\) przy \(\displaystyle{ X=\left( \begin{array}{cc}x\\ y\\ z \end{array}\right) \qquad}\)
to najpierw oblicza się wartości własne macierzy

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} a & d & e\\
d & b & f\\
e & f & c \end{array}\right] \quad}\)

niech to będą \(\displaystyle{ \lambda}\) , \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \upsilon}\) wtedy część kwadratowa zamienia się na \(\displaystyle{ \lambda x` ^{2} + \mu y` ^{2} + \upsilon z` ^{2}}\). Mam nadzieję że się nie mylę i nie wiem co dalej z częścią liniową i wyrazem wolnym. Może diagonalizacja powyższej macierzy i zmiana bazy?

[jutrvy]

Nie chodzi mi tylko i wyłącznie o algorytm ale o wyjaśnienie co się konkretnie robi.

Czego dokładnie nie rozumiesz w słowie algorytm?

[pierwiastekzpi]

W tym przypadku miałam na myśli żeby nie pisać wzoru do którego mam podstawić (aczkolwiek lepsze to niż nic) tylko wytłumaczyć co się konkretnie "dzieje". To niby to samo ale jak ktoś zna tylko wzór do którego ma postawić to będzie mógł mechanicznie rozwiązywać zadania, nie wiedząc co tak do końca robi a jak ktoś rozumie to robi to samo tylko nie mechanicznie a bardziej świadomie.