wartość własna iloczynu macierzy

[alchem]

Są sobie dwie macierze \(\displaystyle{ 7 \times 7}\).
\(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ AB}\)
Pokazać, że \(\displaystyle{ 7}\) jest też wartością własną macierzy \(\displaystyle{ BA}\).
No to piszę:
\(\displaystyle{ (AB) \cdot v=7v\\
B((AB)\cdot v) = B(7 \cdot v)=7B \cdot v\\
A((AB)\cdot v) = A(7 \cdot v)=7A \cdot v}\)
Więc \(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
Nie jestem pewny mojego wniosku, oraz nie wiem co dalej, niby wydaje się jasne że jeśli dwie macierze mają tą sama wartość to ich iloczyn też ją będzie miał, jednak nie potrafię tego pokazać, jakieś rady?

[jutrvy]

Wniosek zły, niestety

[alchem]

Hmm, tak patrzę ale wydaje mi się że nic w miarę sensownego nie wykombinuję, więc powtórzę ostatnią cześć postu : "jakieś rady?"

[octahedron]

\(\displaystyle{ (AB)v=7v\\
B(AB)v=7Bv\\
(BA)(Bv)=7(Bv)}\)

Stąd \(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ BA}\) (z wektorem własnym \(\displaystyle{ Bv}\)).