Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
anders211
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 kwie 2010, o 03:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: anders211 »

Witam
Mam taki problem. Dla tego równania:
\(\displaystyle{ (A - xI)K=0}\)
gdzie
\(\displaystyle{ A}\) macierz o stałych współczynnikach \(\displaystyle{ nxn}\)
\(\displaystyle{ K}\) wektor własny macierzy \(\displaystyle{ A}\), ma \(\displaystyle{ n}\) kolumn i nie jest to wektor zerowy
\(\displaystyle{ I}\) macierz jednostkowa \(\displaystyle{ nxn}\)
\(\displaystyle{ x}\) niewiadoma, wartość własna macierzy \(\displaystyle{ A}\)

w książce jest napisane tak:
Jest to układ równañ jednorodnych.Wiadomo, że aby taki układ równañ liniowych algebraicznych miał nietrywialnie (różne od zera) rozwiązanie to wyznacznik tego układu musi być równy zero.
No i ja tego nie rozumiem z czego to wynika. Jak sobie spojrzymy na to równanie to zadajmy sobie pytanie kiedy lewa strona jest równa prawej (czyli wektorowi zerowemu)? No więc wtedy kiedy po wymnożeniu wszystkiego po lewej stronie mamy też wektor zerowy, czyli wszystkie wiersze są na 0. Ale skąd to się bierze że tak naprawdę nie trzeba mnożyć przez wektor \(\displaystyle{ K}\) a już na podstawie wyznacznika tego \(\displaystyle{ (A - xI)}\) mozna wyznaczyć wszystkie xsy spełniające rownanie to nie rozumiem.
Ostatnio zmieniony 31 sty 2017, o 22:39 przez anders211, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: jutrvy »

No żeby mieć niezerowe rozwiązanie, to musisz mieć nietrywialne jądro, czyli wyznacznik zerowy, rozwiązania tego dziadostwa to wektory z jądra, nie?
anders211
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 kwie 2010, o 03:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: anders211 »

Niestety nie rozumiem tego. Mogę zapamiętać na pamięć to, ale nie wiem jak to ktoś dowiódł, że wystarczy wyznacznik tego policzyć \(\displaystyle{ (A - xI)}\), mozna olać \(\displaystyle{ K}\) i jak wyznacznik jest 0 to rownanie ma rozwiązanie różne od 0.

-- 31 sty 2017, o 23:00 --

Dobra chyba zrozumiałem, że tego nie da się zrozumieć a po prostu należy zapamiętać, przyjmujemy z góry że tak jest, bo tez na google znalazłem, że tak naprawdę ten wyznacznik to równanie charakterystyczne macierzy no i tam tak jest że liczy się najpierw wartości własne \(\displaystyle{ x}\) a potem mając je to wektory własne \(\displaystyle{ K}\) To tak jakbym chciał wyznaczyć skąd się bierze twierdzenie pitagorasa czy E=mc kwadrat. To już jakiś mega mózg wymyślił i mi nie dociekać dowodu a po prostu mam zapamietać że tak jest.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: jutrvy »

Nie, no moment. Kiedy przekształcenie liniowe nie jest różnowartościowe? Kiedy ma zerowy wyznacznik, a to jest równoważne z tym, że jądro jest nietrywialne, czyli istnieje niezerowy wektor, który przechodzi na zero. Czego nie rozumiesz?
anders211
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 kwie 2010, o 03:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: anders211 »

Tutaj nie ma żadnego przekształcenia liniowego, tutaj jest układ równań i niewiadomo jak to ktoś wyprowadził i dowiódł, że wystarczy wyznacznik tego policzyć \(\displaystyle{ (A - xI)}\), mozna olać \(\displaystyle{ K}\) i jak wyznacznik jest \(\displaystyle{ 0}\) to rownanie ma rozwiązanie różne od \(\displaystyle{ 0}\). Czyli brakuje gdzieś z 20 linijek wyprowadzenia.
Ostatnio zmieniony 3 lut 2017, o 22:20 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak lateXa.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: a4karo »

Jak wyznacznik jest różny od zera to ze wzorów Cramera jest jednoznaczne (a więc zerowe) rozwiązanie.

Skoro zatem ma istnieć niezerowe, to wyznacznik musi być zerem.

Jak widzisz ani dwudziestu linijek, ani super głowy. Proste fakty i logika wystraczą.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Wyznacznik równy zero by znaleźć rozwiązanie?

Post autor: jutrvy »

Przepraszam, gdzie niby nie ma przekształcenia liniowego? o_O
ODPOWIEDZ