Potęga macierzy

[paleon]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą rzeczywistą \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Uzasadnij, że jeśli dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ A ^{n} = 0 _{2x2}}\), to \(\displaystyle{ A ^{2} = 0 _{2x2}}\).

Czy poprzednik implikacji jest prawdziwy tylko dla macierzy, której wszystkie elementy są równe 0? Wtedy w szczególności druga potęga też będzie równa zeru.
Byłbym wdzięczny za pomoc.

[yorgin]

Czy poprzednik implikacji jest prawdziwy tylko dla macierzy, której wszystkie elementy są równe 0.

Nie. Weź na przykład

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}}\).

Wtedy \(\displaystyle{ A\neq 0}\), ale \(\displaystyle{ A^2=0}\).

Nie wiem, jaka jest Twoja wiedza z macierzy, ale ja bym to uzasadnił tak. Mamy rozkład \(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\). Skoro \(\displaystyle{ A^n=0}\), to również \(\displaystyle{ J^n=0}\). \(\displaystyle{ J}\) nie może mieć zespolonych wartości własnych (wtedy byłaby obrotem, którego żadna potęga się nie zeruje), ma więc rzeczywiste wartości własne. Gdyby któryś wyraz na przekątnej \(\displaystyle{ J}\) był niezerowy, to \(\displaystyle{ J^n\neq 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\). Zatem \(\displaystyle{ J}\) ma zera na przekątnej. Skoro \(\displaystyle{ \dim J=2}\), to \(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 0 & a\\ 0 & 0\end{bmatrix}, a\in \{0,1\}}\), czyli \(\displaystyle{ J^2=0}\), a w konsekwencji \(\displaystyle{ A^2=0}\).