Jądro i obraz przekształcenia

[Sytom]

Dane jest odwzorowanie
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^3 \ni \vec{v} \xrightarrow{} \vec{u_0} *\vec{v} \in \mathbb{R}^3 , \vec{u_0}→ = \left( 1,2,1 \right)}\)
\(\displaystyle{ *}\) oznacza iloczyn wektorowy


Wyznaczyć jądro i obraz \(\displaystyle{ f}\).

Wyszło mi:
\(\displaystyle{ kerf = lin\left\langle \left( 1,1,2 \right) \right\rangle}\)
oraz
\(\displaystyle{ imf = lin\left\langle \left( 0,1,−2 \right) , \left( −1,0,1 \right) , \left( 2,−1,0 \right) \right\rangle}\)

Jeśli ktoś da radę to proszę o sprawdzenie i ew. pokazanie własnego sposobu rozwiązania
Z góry dzięki

[NogaWeza]

No prawie. Jądro na pewno dobrze, bo iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest zerem, gdy są one równoległe. Co do obrazu, to jego wymiar musi być \(\displaystyle{ 2}\), mówi o tym twierdzenie o rzędzie. Zauważ, że ta trójka wektorów nie jest liniowo niezależna, wybierz po prostu dwa liniowo niezależne spośród nich i wszystko będzie ok.

[Sytom]

Dzięki wielkie za pomoc.
Twierdzenie o rzędzie, o którym mówisz to jest to, że suma wymiarów jądra i obrazu musi być równa wymiarowi? Czy nie jest to zawsze prawda i brzmi ono inaczej?

[NogaWeza]

Tak. Dla \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) ma być \(\displaystyle{ \dim ker f + \dim im f = \dim X}\), czyli w Twoim przypadku wymiary obrazu i jądra mają się sumować do \(\displaystyle{ 3}\).

[Sytom]

Super, dzięki wielkie, jutro egzamin, tutaj byłem niepewny, na pewno pomoże

[paleon]

Czy w tym zadaniu jądrem nie powinna być otoczka linowa \(\displaystyle{ \left( 1,2,1\right)}\), bo rozumiem, że wektory mają być równoległe.
Jak w tym zadaniu zabrać się za obraz, gdy znamy już jego wymiar?

[NogaWeza]

No Sytom przecież pisał, że \(\displaystyle{ kerf = lin\left\langle \left( 1,1,2 \right) \right\rangle}\). A jak znaleźć obraz? Trzeba sobie zadać pytanie, czym jest obraz. Nieformalnie to są wektory, które można dostać na wyjściu, więc warto po prostu zbadać \(\displaystyle{ f((1,0,0)), f((0,1,0)), f((0,0,1))}\) i zobaczyć co dostajemy na wyjściu. Ale równie dobrze można badać wartość przekształcenia na dowolnych trzech niezależnych liniowo wektorach i też dobry obraz dostaniemy. W tym przypadku zbadano wartości przekształcenia dla wektorów bazy kanonicznej i uzyskano trzy wektory, po wywaleniu jednego liniowo zależnego z pozostałymi dostajemy obraz.

[paleon]

On napisał \(\displaystyle{ \left( 1,1,2\right)}\), który nie jest równoległy, a ja pytam o \(\displaystyle{ \left( 1,2,1\right)}\), który jest. Tego nie rozumiem. A obraz zostanie stworzony przez wiersze macierzy przekształcenia? Wtedy kolega chyba źle wyznaczył, bo brakuje minusów, ale przy otoczce to nie będzie miało znaczenia, tak? Moja \(\displaystyle{ lin = \left\langle \left( 0,-1,2 \right) \left( -2,1,0 \right)\right\rangle}\)

[NogaWeza]

Masz rację, nie zauważyłem tego. Nie mają znaczenia minusy. Możesz sobie przemnożyć każdy wektor z wyznaczonego obrazu przez dowolną liczbę rzeczywistą - nadal to będzie obraz.