A^-1 na podstawie A^2

[mint18]

Czy wiedząc, że \(\displaystyle{ A^2=\begin{bmatrix} 10&0\\0&10\end{bmatrix}}\) można obliczyć \(\displaystyle{ A^{-1}}\)?

[kerajs]

A ile jest rozwiązań równań:
a) \(\displaystyle{ B \cdot B=A^2}\)
b) \(\displaystyle{ C \cdot A^{-1}=I}\)

czy jeśli odpowiedzi na a) b) są różne, to jak brzmi odpowiedź na Twoje pytanie

-- 27 sty 2017, o 10:26 --

Hmm, nic nie napisałeś, wiec pewnie potraktowałeś te pytania jak spam. A jednak są one pomocne.
Zacznę od b).
\(\displaystyle{ CA^{-1}=I\\
CA^{-1}(A^{-1})^{-1}= (A^{-1})^{-1}\\
C=(A^{-1})^{-1}}\)
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej nieosobliwej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
a)
\(\displaystyle{ A^2=\begin{bmatrix} 10&0\\0&10\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10&0\\0&10\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+bc=10 \\ b(a+d)=0 \\ c(a+d)=0 \\ bc+d^2=10 \end{cases}}\)
Układ ma nieskończenie wiele różnych rozwiązań, a każde z nich (o ile jest nieosobliwe) ma swoją macierz odwrotną.

Wniosek:
Na podstawie \(\displaystyle{ A^2}\) nie można obliczyć \(\displaystyle{ A^{-1}}\).

[Kaf]

kerajs, e...
\(\displaystyle{ A^2=\begin{bmatrix} 10&0\\0&10\end{bmatrix} \Rightarrow A \cdot \left( \frac{1}{10} A\right) = \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = ...}\)
czyli jednak w pewnym sensie można

[mint18]

kerajs, nie potraktowałem, ale wczoraj przygotowywałem się do dzisiejszego egzaminu (wszystko przez jeden wieczór) i uznałem, że już nie mam czasu się nad tym zastanawiać tylko muszę przerabiać kolejne tematy