Wyprowadzić wzór na A^n

[mint18]

Mamy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\1&1\end{array}\right]}\). Jak wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\1&1\end{array}\right]^n}\) ? Czy mógłby ktoś zrobić to zadanie na tym przykładzie?

[kerajs]

Liczysz:
\(\displaystyle{ A^2=...\\
A^3=...\\
A^4=...\\
A^5=...}\)
i zauważasz że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\1&1\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{ccc}2 \cdot 3^{n-1}&2 \cdot 3^{n-1}\\3^{n-1}&3^{n-1}\end{array}\right]}\)

[mint18]

Tak po prostu? Nie ma jakichś metod, żeby nie trzeba było tego zauważać? Bo tutaj się robi trochę taka zgadywanka.

[NogaWeza]

Rozkład Jordana może pomóc.