Liczba rozwiązań układu w zależności od parametru

[ly000]

Określić liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
px + y + z = 2\\
x + py-z=p \\
x+y+4z=-1
\end{cases}}\)
Równanie w postaci macierzy uzupełnieniowej:
\(\displaystyle{ U =
[A|B] =
\[ \left[
\begin{array}{ccc|c}
p & 1 & 1 & 2\\
1 & p & -1 & p\\
1 & 1 & 4 & -1
\end{array}
\right]\]}\)
I teraz będę chciał wyznaczyć rzęd macierzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ U}\) do twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Tworzę minor \(\displaystyle{ M}\) z macierzy \(\displaystyle{ A}\) skreślając pierwszy wiersz oraz drugą kolumnę:
\(\displaystyle{ \left|
\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 4
\end{array}
\right|
=5 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow r(A) \ge 2 \wedge r(U) \ge 2}\).
Czyli macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ U}\) mogą być rzędu drugiego lub trzeciego. Macierz \(\displaystyle{ A}\) będzie rzędu trzeciego, jeśli jej wyznacznik będzie niezerowy.
\(\displaystyle{ \left|
\begin{array}{ccc}
p & 1 & 1 \\
1 & p & -1 \\
1 & 1 & 4
\end{array}
\right|
=4p^2-4
\Rightarrow r(A)=
\begin{cases}
3 \text{ dla } p \neq -1 \wedge p \neq 1 \\
2 \text{ dla } p = -1 \vee p = 1
\end{cases}}\)
No i tu napotykam problem. W jaki sposób uzależnić rząd macierzy \(\displaystyle{ U}\) od parametru \(\displaystyle{ p}\)? Musiałbym chyba policzyć wszystkie możliwe minory macierzy \(\displaystyle{ U}\) powstające przez skreślenie jednej kolumny, co będzie chyba trudne do zrobienia, więc jak to zrobić inaczej?

[kerajs]

Zaczynasz od rozwiązania równania.
\(\displaystyle{ \left|
\begin{array}{ccc}
p & 1 & 1 \\
1 & p & -1 \\
1 & 1 & 4
\end{array} \right|=0}\)
\(\displaystyle{ 4p^2-4=0\\
p=-1 \vee p=1}\)

1)
Dla \(\displaystyle{ p \in \RR \setminus \left\{ -1,1\right\}}\) układ jest oznaczony (jest jedno rozwiązanie) bo wyznacznik z 3x3 jest niezerowy.

2)
\(\displaystyle{ p=-1}\)
Rozwiązujesz układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-x + y + z = 2\\
x -y-z=-1 \\
x+y+4z=-1
\end{cases}}\)

3)
\(\displaystyle{ p=1}\)
Rozwiązujesz układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x + y + z = 2\\
x + y-z=1 \\
x+y+4z=-1
\end{cases}}\)

Ukryta treść:    

2)3) to układy sprzeczne