Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
szuchasek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 369
Rejestracja: 9 paź 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 50 razy

Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Post autor: szuchasek »

Napisać równanie parametryczne prostej ktora spełnia następujące warunki:

jest zawarta w plaszczyznie: \(\displaystyle{ \pi : x-y-z-3=0}\) i prostopadła do prostej

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y +z-1 =0\\ 2x-y-3z+5=0 \end{cases}}\)



Najpierw wyznaczyłem sobie wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l \rightarrow \vec{v}= [-2,5,-3]}\)

Teraz chciałbym wyznaczyć wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v*}}\) szukanej prostej \(\displaystyle{ l*}\).

Wiem, że jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{v}= [-2,5,-3]}\) i do wektora normalnego \(\displaystyle{ \vec{n}= [1,-1,-1]}\) płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).

Problem polega na tym że nie wiem w jakiej "kolejności" mam wykonać ten iloczyn wektorowy..

\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{n}}\) czy może \(\displaystyle{ \vec{n} \times \vec{v}}\)?


Bardzo proszę niech mnie ktoś oświeci i wyjaśni sprawę.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Post autor: kerajs »

Szukany wektor kierunkowy nazwę k.
Zadanie ma rozwiązanie o wektory v i n nie są równoległe.

Opcja 1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{k} \circ \vec{n}=0 \\ \vec{k} \circ \vec{v}=0 \end{cases}}\)

Opcja 2.
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{n} \times \vec{v}}\)
Kolejność dowolna. Wpływa ona jedynie na zwrot wektora, a nie na jego kierunek.

Ps.
Iloczyn mieszany nie jest tu dobrym pomysłem.
szuchasek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 369
Rejestracja: 9 paź 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 50 razy

Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Post autor: szuchasek »

No a właśnie w podręczniku, jest, że \(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{v} \times \vec{n}}\)...

Jak to, przecież to wychodzi w ogóle inna wartosc?

\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{v} \times \vec{n} = [-8,-5,-3]}\)

\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{n} \times \vec{v} = [2,-1,3]}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Post autor: kerajs »

Wychodzi wektor przeciwny, czyli kierunek tego wektor jest taki sam, tylko zmienił się zwrot (grot wektora jest w drugą stronę). Zauważ ze na kierunek nie ma też wpływu długość wektora. Ten który otrzymasz możesz pomnożyć przez dowolny niezerowy skalar (w tym \(\displaystyle{ -1}\)) a otrzymany wektor nadal wskazuje ten sam kierunek.

Twoje wyniki wskazują niestety na błędne mnożenie wektorów.

\(\displaystyle{ \vec{n} \times \vec{v}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x_n&y_n&z_n\\x_v&y_v&z_v\end{array}\right|=\left[ y_nz_v-z_ny_v,-x_nz_v+z_nx_v,x_ny_v-y_nx_v\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{n}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x_v&y_v&z_v\\x_n&y_n&z_n\end{array}\right|=\left[ y_vz_n-z_vy_n,-x_vz_n+z_vx_n,x_vy_n-y_vx_n\right]=-(\vec{n} \times \vec{v})}\)
szuchasek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 369
Rejestracja: 9 paź 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 50 razy

Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Post autor: szuchasek »

Już rozumiem.

Mam jeszcze jedno pytanie odnosnie innego polecenia:

Wyznaczyć, o ile istnieja, ekstrema lokalne funkcji ... znajdujace sie w pierwszej cwiartce ukł wsp.

To znaczy, że najlepiej wyznaczyć wszystkie możliwe minima i maksima i sprawdzić, ktore nalezą do I cwiartki?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.

Post autor: kerajs »

Mało algebraiczny ten problem.

Niestety nic więcej nie napisałeś, więc swoją odpowiedź muszę uzależnić od sytuacji:

a) liczysz ekstremum jednej zmiennej z \(\displaystyle{ y=f(x)}\).
Wtedy to pytanie dotyczy wartości ekstremum. Możesz wyliczać wszystkie ekstrema, ale tak naprawdę wystarczy sprawdzić tylko te które z warunku koniecznego spełniają zależność \(\displaystyle{ x \ge 0}\).

b) liczysz ekstremum dwóch zmiennych z funkcji \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\). Wtedy to pytanie dotyczy tylko punktów otrzymanych z WK, posiadających obie współrzędne nieujemne. I tylko dla nich sprawdzasz istnienie ekstremum. Jak się uprzesz to możesz sprawdzić wszystkie punkty, tylko czy warto się upierać.
ODPOWIEDZ