Napisać równanie parametryczne prostej ktora spełnia następujące warunki:
jest zawarta w plaszczyznie: \(\displaystyle{ \pi : x-y-z-3=0}\) i prostopadła do prostej
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y +z-1 =0\\ 2x-y-3z+5=0 \end{cases}}\)
Najpierw wyznaczyłem sobie wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l \rightarrow \vec{v}= [-2,5,-3]}\)
Teraz chciałbym wyznaczyć wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v*}}\) szukanej prostej \(\displaystyle{ l*}\).
Wiem, że jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{v}= [-2,5,-3]}\) i do wektora normalnego \(\displaystyle{ \vec{n}= [1,-1,-1]}\) płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
Problem polega na tym że nie wiem w jakiej "kolejności" mam wykonać ten iloczyn wektorowy..
\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{n}}\) czy może \(\displaystyle{ \vec{n} \times \vec{v}}\)?
Bardzo proszę niech mnie ktoś oświeci i wyjaśni sprawę.
Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.
Szukany wektor kierunkowy nazwę k.
Zadanie ma rozwiązanie o wektory v i n nie są równoległe.
Opcja 1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{k} \circ \vec{n}=0 \\ \vec{k} \circ \vec{v}=0 \end{cases}}\)
Opcja 2.
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{n} \times \vec{v}}\)
Kolejność dowolna. Wpływa ona jedynie na zwrot wektora, a nie na jego kierunek.
Ps.
Iloczyn mieszany nie jest tu dobrym pomysłem.
Zadanie ma rozwiązanie o wektory v i n nie są równoległe.
Opcja 1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{k} \circ \vec{n}=0 \\ \vec{k} \circ \vec{v}=0 \end{cases}}\)
Opcja 2.
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{n} \times \vec{v}}\)
Kolejność dowolna. Wpływa ona jedynie na zwrot wektora, a nie na jego kierunek.
Ps.
Iloczyn mieszany nie jest tu dobrym pomysłem.
-
- Użytkownik
- Posty: 369
- Rejestracja: 9 paź 2013, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 50 razy
Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.
No a właśnie w podręczniku, jest, że \(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{v} \times \vec{n}}\)...
Jak to, przecież to wychodzi w ogóle inna wartosc?
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{v} \times \vec{n} = [-8,-5,-3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{n} \times \vec{v} = [2,-1,3]}\)
Jak to, przecież to wychodzi w ogóle inna wartosc?
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{v} \times \vec{n} = [-8,-5,-3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{k} = \vec{n} \times \vec{v} = [2,-1,3]}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.
Wychodzi wektor przeciwny, czyli kierunek tego wektor jest taki sam, tylko zmienił się zwrot (grot wektora jest w drugą stronę). Zauważ ze na kierunek nie ma też wpływu długość wektora. Ten który otrzymasz możesz pomnożyć przez dowolny niezerowy skalar (w tym \(\displaystyle{ -1}\)) a otrzymany wektor nadal wskazuje ten sam kierunek.
Twoje wyniki wskazują niestety na błędne mnożenie wektorów.
\(\displaystyle{ \vec{n} \times \vec{v}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x_n&y_n&z_n\\x_v&y_v&z_v\end{array}\right|=\left[ y_nz_v-z_ny_v,-x_nz_v+z_nx_v,x_ny_v-y_nx_v\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{n}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x_v&y_v&z_v\\x_n&y_n&z_n\end{array}\right|=\left[ y_vz_n-z_vy_n,-x_vz_n+z_vx_n,x_vy_n-y_vx_n\right]=-(\vec{n} \times \vec{v})}\)
Twoje wyniki wskazują niestety na błędne mnożenie wektorów.
\(\displaystyle{ \vec{n} \times \vec{v}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x_n&y_n&z_n\\x_v&y_v&z_v\end{array}\right|=\left[ y_nz_v-z_ny_v,-x_nz_v+z_nx_v,x_ny_v-y_nx_v\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{n}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x_v&y_v&z_v\\x_n&y_n&z_n\end{array}\right|=\left[ y_vz_n-z_vy_n,-x_vz_n+z_vx_n,x_vy_n-y_vx_n\right]=-(\vec{n} \times \vec{v})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 369
- Rejestracja: 9 paź 2013, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 50 razy
Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.
Już rozumiem.
Mam jeszcze jedno pytanie odnosnie innego polecenia:
Wyznaczyć, o ile istnieja, ekstrema lokalne funkcji ... znajdujace sie w pierwszej cwiartce ukł wsp.
To znaczy, że najlepiej wyznaczyć wszystkie możliwe minima i maksima i sprawdzić, ktore nalezą do I cwiartki?
Mam jeszcze jedno pytanie odnosnie innego polecenia:
Wyznaczyć, o ile istnieja, ekstrema lokalne funkcji ... znajdujace sie w pierwszej cwiartce ukł wsp.
To znaczy, że najlepiej wyznaczyć wszystkie możliwe minima i maksima i sprawdzić, ktore nalezą do I cwiartki?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Nietypowy problem z iloczynem mieszanym.
Mało algebraiczny ten problem.
Niestety nic więcej nie napisałeś, więc swoją odpowiedź muszę uzależnić od sytuacji:
a) liczysz ekstremum jednej zmiennej z \(\displaystyle{ y=f(x)}\).
Wtedy to pytanie dotyczy wartości ekstremum. Możesz wyliczać wszystkie ekstrema, ale tak naprawdę wystarczy sprawdzić tylko te które z warunku koniecznego spełniają zależność \(\displaystyle{ x \ge 0}\).
b) liczysz ekstremum dwóch zmiennych z funkcji \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\). Wtedy to pytanie dotyczy tylko punktów otrzymanych z WK, posiadających obie współrzędne nieujemne. I tylko dla nich sprawdzasz istnienie ekstremum. Jak się uprzesz to możesz sprawdzić wszystkie punkty, tylko czy warto się upierać.
Niestety nic więcej nie napisałeś, więc swoją odpowiedź muszę uzależnić od sytuacji:
a) liczysz ekstremum jednej zmiennej z \(\displaystyle{ y=f(x)}\).
Wtedy to pytanie dotyczy wartości ekstremum. Możesz wyliczać wszystkie ekstrema, ale tak naprawdę wystarczy sprawdzić tylko te które z warunku koniecznego spełniają zależność \(\displaystyle{ x \ge 0}\).
b) liczysz ekstremum dwóch zmiennych z funkcji \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\). Wtedy to pytanie dotyczy tylko punktów otrzymanych z WK, posiadających obie współrzędne nieujemne. I tylko dla nich sprawdzasz istnienie ekstremum. Jak się uprzesz to możesz sprawdzić wszystkie punkty, tylko czy warto się upierać.