Witam,
zastanawiam się jak wyznaczyć bazę sprzężoną do danej bazy. W ogóle nie za bardzo rozumiem czym są przekształcenia liniowe sprzężone, a z wikipedii to za wiele nie rozumiem. Mógłby ktoś jakoś rozjaśnić mi ten temat?-- 22 sty 2017, o 22:30 --W ogóle te funkcjonały jakby ktoś rozjaśnił czym są...
Baza sprzężona
-
Mlody Banach
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
-
Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Baza sprzężona
Musisz mieć po pierwsze bardzo dobre wyczucie w poruszaniu się po różnych przestrzeniach wektorowych. Popatrzmy więc na jedną z możliwych takich krain.
Funkcje ciągłe na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Rozważamy właśnie taki zbiór. Umiemy bowiem dwie funkcje do siebie dodać oraz mnożyć je przez liczby rzeczywiste. Mając dwie funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) z naszego zbioru, potrafimy określić funkcje \(\displaystyle{ f+g}\), kładąc po prostu dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\), \(\displaystyle{ (f+g)(x):=f(x)+g(x)}\). Dla liczby \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) określamy także funkcje \(\displaystyle{ \lambda f}\) wzorem \(\displaystyle{ (\lambda f)(x):=\lambda f(x)}\). W ten sposób mamy określoną strukturę przestrzeni liniowej. Możesz sobie pomyśleć, że funkcje te opisują Ci jakiś zbiór rozwiązań pewnego równania różniczkowego, albo po prostu z innych powodów badanie takiej przestrzeni jest ważne. Idea funkcjonału liniowego polega na tym, że funkcjonał "bierze" taką funkcje i zwraca liczbę (w pewien sposób mierzy on tę funkcję). Możesz mieć funkcjonał, który każdej funkcji przypisuje wartość tej funkcji w zerze, to znaczy \(\displaystyle{ f \mapsto f(0)}\). Przestrzeń dualna to zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych, czyli wszystkich funkcji liniowych \(\displaystyle{ \phi}\), których dziedziną jest wyżej wymieniona przestrzeń, a przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Funkcje ciągłe na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Rozważamy właśnie taki zbiór. Umiemy bowiem dwie funkcje do siebie dodać oraz mnożyć je przez liczby rzeczywiste. Mając dwie funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) z naszego zbioru, potrafimy określić funkcje \(\displaystyle{ f+g}\), kładąc po prostu dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\), \(\displaystyle{ (f+g)(x):=f(x)+g(x)}\). Dla liczby \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) określamy także funkcje \(\displaystyle{ \lambda f}\) wzorem \(\displaystyle{ (\lambda f)(x):=\lambda f(x)}\). W ten sposób mamy określoną strukturę przestrzeni liniowej. Możesz sobie pomyśleć, że funkcje te opisują Ci jakiś zbiór rozwiązań pewnego równania różniczkowego, albo po prostu z innych powodów badanie takiej przestrzeni jest ważne. Idea funkcjonału liniowego polega na tym, że funkcjonał "bierze" taką funkcje i zwraca liczbę (w pewien sposób mierzy on tę funkcję). Możesz mieć funkcjonał, który każdej funkcji przypisuje wartość tej funkcji w zerze, to znaczy \(\displaystyle{ f \mapsto f(0)}\). Przestrzeń dualna to zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych, czyli wszystkich funkcji liniowych \(\displaystyle{ \phi}\), których dziedziną jest wyżej wymieniona przestrzeń, a przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).