Witam, proszę o sprawdzenie zadania i wskazanie błędów.
Polecenie:
Niech \(\displaystyle{ \phi:R^3 \rightarrow R^4}\) zadana jest wzorem \(\displaystyle{ \phi\left( \left[ x_1,x_2,x_3\right] \right)=\left[ 3x_1-x_2+2x_3, x_1 +x_2 -x_3, 4x_2 - 5x_3, 2x_1 - 2x_2 + 3x_3\right]}\).
Znaleźć bazę jądra i obraz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi^*:\left( R^4\right)^* \rightarrow \left( R^3\right)^*}\).
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left[ 3x_1-x_2+2x_3, x_1 +x_2 -x_3, 4x_2 - 5x_3, 2x_1 - 2x_2 + 3x_3\right]=
=x_1 \cdot \left[ 3,1,0,2\right] +x_2 \cdot \left[ -1,1,4,-2\right]+x_3 \cdot \left[ 2,-1,5,3\right]}\)
Wektory \(\displaystyle{ \left[ 3,1,0,2\right] , \left[ -1,1,4,-2\right], \left[ 2,-1,-5,3\right]}\) są liniowo zależne.
Wybieram dwa pierwsze i dopełniam do bazy tak, że mam układ bazowy:
\(\displaystyle{ \left[ 3,1,0,2\right] , \left[ -1,1,4,-2\right],\left[ 0,0,1,0\right],\left[ 0,0,0,1\right]}\)
Układ ten jest liniowo niezależny, wiec
\(\displaystyle{ \left[ 3,1,0,2\right]^* , \left[ -1,1,4,-2\right]^*,\left[ 0,0,1,0\right]^*,\left[ 0,0,0,1\right]^*}\) rozpina \(\displaystyle{ \left( R^4\right)^*}\)
Wtedy każdy wektor \(\displaystyle{ \Phi \in \left( R^4\right)^*}\) jest taki że
\(\displaystyle{ \Phi=a_1\left[ 3,1,0,2\right]^* + a_2\left[ -1,1,4,-2\right]^*+a_3\left[ 0,0,1,0\right]^*+a_4\left[ 0,0,0,1\right]^*}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \phi^*(\Phi)=\left( a_1\left[ 3,1,0,2\right]^* + a_2\left[ -1,1,4,-2\right]^*+a_3\left[ 0,0,1,0\right]^*+a_4\left[ 0,0,0,1\right]^*\right) \circ \phi}\)
Teraz widać, że jądro \(\displaystyle{ \phi^*}\) to \(\displaystyle{ lin \left( \left[ 0,0,1,0\right], \left[ 0,0,0,1\right] \right)}\), bo funkcjonały rozpięte przez te wektory zawsze będą zerowe dla wektorów z obrazu \(\displaystyle{ \phi}\)
Z obrazem mam kłopot,
pozdrawiam-- 22 sty 2017, o 11:41 --Zdaje się, że dla obrazu bedzie tak:
\(\displaystyle{ \phi^*(\Phi)=\left( a_1\left[ 3,1,0,2\right]^* + a_2\left[ -1,1,4,-2\right]^*+a_3\left[ 0,0,1,0\right]^*+a_4\left[ 0,0,0,1\right]^*\right) \circ \phi
=\left( a_1\left[ 3,1,0,2\right]^* + a_2\left[ -1,1,4,-2\right]^*) \circ \phi}\)
dla
\(\displaystyle{ \phi\left( \left[ x_1,x_2,x_3\right] \right)=
x_1 \cdot \left[ 3,1,0,2\right] +x_2 \cdot \left[ -1,1,4,-2\right]+x_3 \cdot \left[ 2,-1,5,3\right]=\\*=
x_1 \cdot \left[ 3,1,0,2\right] +x_2 \cdot \left[ -1,1,4,-2\right]+x_3 \cdot \left( \left[ 3,1,0,2\right] + \left[ -1,1,4,-2\right]\right)=\\*=(x_1+x_3) \cdot \left[ 3,1,0,2\right]+ (x2+x3)\cdot \left[ -1,1,4,-2\right]}\)
\(\displaystyle{ \left( a_1\left[ 3,1,0,2\right]^* + a_2\left[ -1,1,4,-2\right]^*) \circ \phi\left( \left[ x_1,x_2,x_3\right] \right) \\*
= a_1 \cdot \left( x_1+x_3\right) + a_2 \cdot \left( x_2+x_3\right)
= a_1 \cdot ( e_1^* +e_3^* )+a_2 \cdot ( e_2^* +e_3^*)}\)
więc \(\displaystyle{ im(\phi^*)}\) miałby równać się \(\displaystyle{ lin((e_1^* +e_3^* ),( e_2^* +e_3^*))}\)