Wyznaczyć bazę przestrzeni i macierz przekształcenia

[Toficer]

Dzień dobry. Mam za zadanie:

Wyznaczyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) składającą się z wektorów własnych przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi: R^{3} \rightarrow R ^{3}}\) oraz macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) w tej bazie, jeśli \(\displaystyle{ M_{A}^{A}(\varphi) = \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-2\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ A = ((1,0,-1), (3,2,1), (1,1,0))}\).

Nie bardzo wiem, jak się za to zabrać, ale postanowiłem wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ M_{ E_{3} }^{ E_{3} }(\varphi)}\) za pomocą macierzy \(\displaystyle{ M_{ E_{3} }^{ A }(id)}\) i \(\displaystyle{ M_{ A }^{ E_{3} }(id)}\), a następnie odczytać z niej wzór przekształcenia i obliczyć wektory. Problem w tym, że działań jest morderczo wiele - mam wrażenie, że to nie może być najlepsza (albo w ogóle dobra) metoda.

Po wielu obliczeniach, macierz \(\displaystyle{ M_{ E_{3} }^{ E_{3} }(\varphi)}\) wyszła mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -16&18&-16\\-24&38&-24\\-36&-26&-36\end{bmatrix}}\), a z tego muszę jeszcze liczyć \(\displaystyle{ \lambda}\) i wektory...

Bardzo proszę o radę i pomoc.

[karakuku]

Metoda jest poprawna.

Na pewno będzie mniej obliczeń jak weźmiemy przekształcenie \(\displaystyle{ \psi}\) takie, że \(\displaystyle{ M_{E_3}^{E_3}(\psi)=M_{A}^{A}(\varphi)}\),

znajdziemy bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) złożoną z wektorów własnych przekształcenia \(\displaystyle{ \psi}\) i będziemy mieli macierz diagonalną \(\displaystyle{ D=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\psi)}\)
(Ta macierz \(\displaystyle{ D}\) będzie też macierzą przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) w bazie złożonej z jej wektorów własnych)

Mamy \(\displaystyle{ M_{E_3}^{E_3}(\psi)=M_{\mathcal{B}}^{E_3}(id) \cdot
D \cdot
M_{E_3}^{\mathcal{B}}(id)}\) i wiemy, że \(\displaystyle{ M_{E_3}^{E_3}(\varphi)=
M_{A}^{E_3}(id) \cdot
M_{A}^{A}(\varphi) \cdot
M_{E_3}^{A}(id)}\)

Czyli macierz \(\displaystyle{ M_{A}^{E_3}(id) \cdot M_{\mathcal{B}}^{E_3}(id)=M_{\mathcal{C}}^{E_3}(id)}\) gdzie \(\displaystyle{ C}\) to baza złożona z wektorów własnych \(\displaystyle{ \varphi}\)

[Toficer]

Dziękuję za odpowiedź. Przyjąłem macierz \(\displaystyle{ M_{ E_{3} }^{ E_{3} }(\psi) = \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-2\end{bmatrix}}\) i obliczyłem jej wektory własne, składając bazę:

\(\displaystyle{ \beta = ((-2,1,0), (-1,1,0), (1,0,1))}\)

\(\displaystyle{ M_{ E_{3} }^{ \beta }(id) = \begin{bmatrix} -2&-1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ M_{ \beta }^{ E_{3} }(id) = \begin{bmatrix} -1&-1&1\\1&2&-1\\0&0&1\end{bmatrix}}\) (macierz odwrotna do powyższej)

Jednak po rozwiązaniu równania z tymi macierzami otrzymałem wynik:

\(\displaystyle{ D = \begin{bmatrix} -12&-29&19\\10&21&-13\\0&0&-2\end{bmatrix}}\)

Sprawdziłem go za pomocą kalkulatorów online, wydaje się być poprawny. Czy przyjąłem złą macierz początkową? D nie jest diagonalna...

[karakuku]

\(\displaystyle{ D=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\psi)=M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}(\varphi)}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{C}}\) to bazy złożone z wektorów własnych przekształceń odpowiednio \(\displaystyle{ \psi}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\).
Musi wyjść diagonalna.

// Macierze przejścia są dobrze policzone, jak liczyłeś tą macierz \(\displaystyle{ D}\)?

[Toficer]

Wg. Pana wzoru:
\(\displaystyle{ M_{E_3}^{E_3}(\psi)=M_{\mathcal{B}}^{E_3}(id) \cdot D \cdot M_{E_3}^{\mathcal{B}}(id)}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&-1&1\\1&2&-1\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot D \cdot \begin{bmatrix} -2&-1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Wyznaczam D, macierze odwrotne znam i wstawiam:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&-1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1&-1&1\\1&2&-1\\0&0&1\end{bmatrix} = D}\)

Mnożę zaczynając od lewej, wychodzi:

\(\displaystyle{ D = \begin{bmatrix} -2&-9&9\\0&1&-3\\0&0&-2\end{bmatrix}}\)

Poprzedni wynik był błędny, faktycznie, ale to wciąż nie macierz diagonalna.
Szukam błędów rachunkowych, ale narazie nie widzę żadnych.

[karakuku]

Już widzę błąd.

\(\displaystyle{ M_{\mathcal{B}}^{E_3}(id)}\) to macierz, w której kolumny to kolejne wektory z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) z definicji macierzy przekształcenia.

Czyli zamiast:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&-1&1\\1&2&-1\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot D \cdot \begin{bmatrix} -2&-1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Powinno być:


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -2&-1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot D \cdot \begin{bmatrix} -1&-1&1\\1&2&-1\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

[Toficer]

Hmm, na wykładzie przerabialiśmy zmianę bazy i (w innym zadaniu oczywiście) przy:

\(\displaystyle{ \beta = ((3,1), (2,1))}\)

Zapisaliśmy właśnie macierz \(\displaystyle{ M_{ E_{2} }^{ \beta } (id)}\) jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&2\\1&1\end{bmatrix}}\),

czyli z kolumnami złożonymi z kolejnych wektorów \(\displaystyle{ \beta}\). Stąd przyjąłem, że i w tym wypadku muszę postąpić podobnie. Czy mój wykładowca się pomylił, czy też może zasady budowania tej macierzy różnią się w zależości od zadania?

[karakuku]

Weźmy definicję np. z

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~msobol/wykl/przekszt1.pdf

ze strony 16

(tzn. w j -tej kolumnie macierzy A stoją współrzędne wektora \(\displaystyle{ f(v_j)}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\)).
Macierz taką oznaczamy \(\displaystyle{ M(f)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}}\)

\\(\displaystyle{ (v_1,...,v_n) = \mathcal{A}}\)

i zróbmy ten przykład z wykładu:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=E_2=((1,0),(0,1))}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{B}=\beta = ((3,1), (2,1))}\)
\(\displaystyle{ f=id}\)

Policzmy współrzędne wektorów teraz:
\(\displaystyle{ f((1,0))=id((1,0))=(1,0)=1 \cdot (3,1) + (-1) \cdot (2,1)}\)
\(\displaystyle{ f((0,1))=id((0,1))=(0,1)=(-2) \cdot (3,1) + 3 \cdot (2,1)}\)

Czyli macierz \(\displaystyle{ M(id)_{E_2}^{\beta}=\begin{bmatrix} 1&-2\\-1&3\end{bmatrix}}\)

Jak się przeliczy to \(\displaystyle{ M(id)^{E_2}_{\beta}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&2\\1&1\end{bmatrix}}\)

Nie jestem w stanie stwierdzić czy wykładowca się pomylił ale na pewno mogę powiedzieć, że definicja macierzy przekształcenia jest zawsze ta sama.

[Toficer]

Po zastosowaniu poprawionej macierzy przekształcenia (i zauważeniu, że element \(\displaystyle{ a_{33}}\) macierzy
\(\displaystyle{ M_{ E_{3} }^{ E_{3} }(\psi) = \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-2\end{bmatrix}}\)
to -2, a nie -1, jak obaj zapisaliśmy - niech diabli wezmą mikrobłędy) macierz D wyszła diagonalna, a dokładniej:

\(\displaystyle{ D = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}\)

Budując macierz z wektorów \(\displaystyle{ A}\) i rozwiąując równanie otrzymałem:

\(\displaystyle{ M_{ C }^{ E_{3} }(id) = \begin{bmatrix} 1&2&2\\2&2&1\\3&2&-1\end{bmatrix}}\)

Czyli \(\displaystyle{ C = ((1,2,3), (2,2,2), (2,1,-1))}\) i to są wektory własne \(\displaystyle{ \varphi}\)?

[karakuku]

Czyli \(\displaystyle{ C = ((1,2,3), (2,2,2), (2,1,-1))}\) i to są wektory własne \(\displaystyle{ \varphi}\)?

Żeby się upewnić,że są wektorami własnymi można użyć na nich po prostu przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&6&-6\\-3&-5&3\\0&0&-2\end{bmatrix} \cdot
\left[ \begin{array}{c}1\\2\\3\end{array} \right]=
\left[ \begin{array}{c}-2\\-4\\-6\end{array} \right]=
(-2) \cdot \left[ \begin{array}{c}1\\2\\3\end{array} \right]}\)

No i widać, że pierwszy wektor to wektor własny \(\displaystyle{ \varphi}\) z wartością własną \(\displaystyle{ -2}\) itd.

[Toficer]

Ok. Dziękuję bardzo, uściskałbym przez ekran, gdybym mógł.

[karakuku]

Proszę bardzo