Znaleźć macierz w bazach standardowych

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ \alpha_1=\left( 1,1,1,1\right),\alpha_2=\left( 1,1,1,0\right),\alpha_3=\left( 1,1,0,0\right),\alpha_4=\left( 1,0,0,0\right)}\), niech \(\displaystyle{ A=\left\{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right\}}\) i niech \(\displaystyle{ \varphi : \RR^4 \rightarrow \RR^4}\) będzie przekształceniem liniowym spełniającym \(\displaystyle{ \ker \varphi =\Lin \left( \alpha_1,\alpha_4\right) ,\varphi\left( \alpha_2\right)=\alpha_1,\varphi\left( \alpha_3\right)=\alpha_2}\). Znaleźć :
a) \(\displaystyle{ M\left( \varphi\right)_{st}^{st}}\)
b) \(\displaystyle{ M\left( \varphi\right)_{A}^{A}}\)
c) rząd przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi^k=\varphi \cdot ... \cdot \varphi \left( k}\)-krotne złożenie \(\displaystyle{ \right)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3}\).

Może ktoś cokolwiek pomóc tutaj?

[karakuku]

a)
\(\displaystyle{ \varphi(1,1,1,1)=(0,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \varphi(1,0,0,0)=(0,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \varphi(1,1,1,0)=(1,1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \varphi(1,1,0,0)=(1,1,1,0)}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0\\
1&1&1&0&1&1&1&1\\
1&1&0&0&1&1&1&0\\ \end{array} \right]
\rightarrow
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&1&1&1&0\\
0&0&1&0&0&0&0&1\\
0&0&0&1&-1&-1&-1&-1\\ \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ M\left( \varphi\right)_{st}^{st}=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\\-1&-1&-1&-1\end{array}\right]}\)

b) mnożenie przez macierz przejścia
c) potęgowanie macierzy