Witam,
1.Przypuśćmy, że nieosobliwa macierz \(\displaystyle{ A}\) ma faktoryzację \(\displaystyle{ A=LU}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest macierzą dolnotrójkątną i \(\displaystyle{ U}\) jest macierzą górnotrójkątną. Czy \(\displaystyle{ A}\) musi posiadać faktoryzację \(\displaystyle{ A = U'L'}\), gdzie \(\displaystyle{ L'}\) jest macierzą dolnotrójkątną i \(\displaystyle{ U'}\) jest macierzą górnotrójkątną?
2.Załóżmy, że mamy dany rozkład \(\displaystyle{ A = LPU}\) macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest macierzą dolnotrójkątną z jedynkami na przekątnej, \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą permutacji, zaś \(\displaystyle{ U}\) jest macierzą górnotrójkątną. Załóżmy też, że macierz \(\displaystyle{ A'}\) powstaje z macierzy \(\displaystyle{ A}\) poprzez dokonanie jednej z operacji elementarnych na wierszach: dodanie „ \(\displaystyle{ j}\)-tego” wiersza pomnożonego przez liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \lambda}\) do wiersza „\(\displaystyle{ i}\)-tego”, lub zamiana wiersza „\(\displaystyle{ i}\)-tego” z wierszem „\(\displaystyle{ j}\)-tym”, dla \(\displaystyle{ i>j}\) (tak samo: operacji elementarnych na kolumnach, dla \(\displaystyle{ i<j}\) odpowiednio). Jakich operacji elementarnych trzeba dokonać na macierzach \(\displaystyle{ L, P}\) i \(\displaystyle{ U}\), aby uzyskać macierz dolnotrójkątną z jedynkami na przekątnej \(\displaystyle{ L'}\), macierzą permutacji \(\displaystyle{ P'}\), oraz macierz górnotrójkątną \(\displaystyle{ U'}\) odpowiednio, tak, aby zachodziła równość \(\displaystyle{ A'=L'P'U'}\)?
Ma ktoś jakiś pomysł?
Z góry dziękuję.