Pytanie o wektory

[max123321]

Robię teraz zadania z algebry i nasuwa mi się takie pytanie, czy każdy wektor jest w jakiejś bazie?
Mam na przykład jakieś przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ R^3 \rightarrow R^2}\) i bazą \(\displaystyle{ R^3}\) jest \(\displaystyle{ \left( 1,0,1\right),\left( 0,1,2\right),\left( 2,1,0\right)}\) i teraz pytanie, w jakiej bazie jest pierwszy wektor z tej bazy tzn. \(\displaystyle{ \left( 1,0,1\right)}\). To jest wektor bazowy, ale on jest w jakiej bazie wyznaczony? A może nie ma przy tym wektorze sensu mówienia o jakiejkolwiek bazie... To jak to jest?

[Kacperdev]

Istnieje coś takiego jak twierdzenie Steinitza -> każdy układ niezależnych wektorów można dopełnić do bazy tej przestrzeni. Jeden wektor jest oczywiscie układem wektorów liniowo niezależnych wiec można mu znaleźć takie wektory by razem tworzyły baze.

[max123321]

Ale nie, mi chodzi po prostu o to w jakiej bazie jest wektor \(\displaystyle{ \left( 1,0,1\right)}\), bo nic tu nie jest o tym wspomniane. Albo weźmy sobie w ogóle jakiś dowolny wektor na przykład \(\displaystyle{ \left( 1,2,3\right)}\). W jakiej on jest bazie?

[Kacperdev]

W takim razie to pytanie nie ma sensu. Lub inaczej... można znaleźć nieskończenie wiele baz w ktorych znajduje sie ten wektor.

[max123321]

Ale w jakiejś jednej konkretnej musi być? Jeśli tak to w jakiej bazie jest wektor jeśli nie mówimy o bazach? Na przykład mamy takie zadanie: Zapisz wektor \(\displaystyle{ \left( 10,8,1,7\right)}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,1,0\right),\left( 0,1,1,1\right),\left( 0,1,2,3\right),\left( 0,0,0,1\right) \right\}}\). W jakiej bazie jest wektor \(\displaystyle{ \left( 10,8,1,7\right)}\)?

[pawlo392]

Nie rozumiem twoich pytań. Kacperdev, odpowiedział Ci konkretnie. W zadaniu się pytamy jakie współrzędne ma wymieniony wektor w wymienionej bazie.

[Kacperdev]

Domyślnie w bazie standardowej.

[max123321]

To może inaczej. Wektor \(\displaystyle{ \left( 10,8,1,7\right)}\) ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,1,0\right),\left( 0,1,1,1\right),\left( 0,1,2,3\right),\left( 0,0,0,1\right) \right\}}\) współrzędne: \(\displaystyle{ \left( 10,25,-17,33\right)}\). Czyli możemy powiedzieć, że wektor \(\displaystyle{ \left( 10,25,-17,33\right)}\) jest w bazie: \(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,1,0\right),\left( 0,1,1,1\right),\left( 0,1,2,3\right),\left( 0,0,0,1\right) \right\}}\) tak?

[Kacperdev]

Trzeba mieć kontekst, niepotrzebnie komplikujesz. Jeżeli tak napiszesz - to tak jest. Jeżeli nic nie napiszesz w jakiej jest bazie to zakłada się, że jest w standardowej. Na ogół jednak nie jest to nam aż tak potrzebne bo rozpatrujemy przestrzenie liniowe raczej abstrakcyjnie niż na konkretach.

[max123321]

Aha no może i racja niepotrzebnie komplikuję. Ale chyba właśnie o to mi chodziło, że domyślnie rozpatrujemy w standardowej. Czyli jeśli nie ma mowy o bazach to wektor \(\displaystyle{ \left( 1,2,3\right)}\) zawsze możemy utożsamiać z tym,że : \(\displaystyle{ \left( 1,2,3\right)= 1 \cdot \left( 1,0,0\right)+2 \cdot \left( 0,1,0\right)+3 \cdot \left( 0,0,1\right)}\) tak?

[Kacperdev]

Tak.

[yorgin]

Co oznacza sformułowanie:

"Wektor jest w bazie?"

Czyli możemy powiedzieć, że wektor \(\displaystyle{ \left( 10,25,-17,33\right)}\) jest w bazie: \(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,1,0\right),\left( 0,1,1,1\right),\left( 0,1,2,3\right),\left( 0,0,0,1\right) \right\}}\) tak?

Wektor "nie jest w bazie", jest wyrażalny przez wektory bazowe za pomocą współrzędnych. Współrzędne te zmieniają się w zależności od tego, jaka baza została wybrana.

W szczególności każdy wektor bazowy ma współrzędne typu same zera poza jedną jedynką, stojącą przy wektorze bazowym równym wyjściowemu wektorowi. Przy innej bazie te współrzędne będą inne.

[max123321]

Wektor "nie jest w bazie", jest wyrażalny przez wektory bazowe za pomocą współrzędnych. Współrzędne te zmieniają się w zależności od tego, jaka baza została wybrana.

No, ta o to mi w zasadzie chodziło, tylko nie wiedziałem jak to powiedzieć.

No to jeszcze spróbuję się upewnić. Weźmy jeszcze raz wektor \(\displaystyle{ \left( 10,25,-17,33\right)}\) wyrażony przez wektory bazowe:\(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,1,0\right),\left( 0,1,1,1\right),\left( 0,1,2,3\right),\left( 0,0,0,1\right) \right\}}\). Jeśli teraz weźmiemy \(\displaystyle{ 10 \left( 1,0,1,0\right)+25\left( 0,1,1,1\right)-17\left( 0,1,2,3\right)+33\left( 0,0,0,1\right)=\left( 10,8,1,7\right)}\) to otrzymamy ten sam wektor tylko wyrażony przez wektory bazowe standardowe \(\displaystyle{ \left( 1,0,0,0\right),\left( 0,1,0,0\right),\left( 0,0,1,0\right),\left( 0,0,0,1\right)}\). Tak?

[yorgin]

Nie.

Wektor nie zmienia się przy zmianie bazy. Zmieniają się jego współrzędne w danej bazie, których nie należy mylić ze współrzędnymi wektora.

Dla bazy kanonicznej współrzędne wektora i współrzędne w bazie są takie same, ale niezależnie od bazy, wektor \(\displaystyle{ \left( 10,25,-17,33\right)}\) pozostaje taki sam. Być może to prowadzi do błędnego pojmowania sprway.

To, co dalej piszesz, to stwierdzenie, że wektor \(\displaystyle{ \left( 10,8,1,7\right)}\) ma w wymienionej bazie współrzędne \(\displaystyle{ 10, 25, -17, 33}\) (unikam nawiasowania, by uniknąć zamieszania pojęć). Ale nie jest to tożsame ze stwierdzeniem, że wektor w jakiejś bazie staje się wektorem innym - to ostatnie nie ma sensu.

[max123321]

No dobra to jeśli tak to wytłumacz mi jedną rzecz. Mam problem w jednym miejscu bo właśnie nie wiem czy mamy do czynienia ze współrzędnymi wektora czy ze współrzędnymi wektora w bazie.
Mamy bazę \(\displaystyle{ A=\left\{ \left( 1,1,1\right),\left( 1,1,0\right),\left( 1,0,0\right) \right\}}\)
Macierz \(\displaystyle{ M\left( \varphi\right)_A^A=\left[ \begin{array}{ccc}1&2&3\\3&3&3\\4&5&6\end{array}\right]}\)
Generalnie trzeba policzyć obraz przekształcenia.
Po drodze otrzymujemy wynik \(\displaystyle{ \varphi\left( 1,1,1\right)=\left( 1,3,4\right)}\) i to jest podobno w bazie standartowej. Ja się pytam dlaczego zachodzi ta równość i dlaczego w bazie standartowej. Czy w tym przypadku \(\displaystyle{ \left( 1,3,4\right)}\) oznacza współrzędne wektora czy współrzędne wektora w bazie? Wiem, że korzystamy tu ze wzoru \(\displaystyle{ M\left( \varphi\right)_A^B \cdot \left[ \begin{array}{c}a_1\\...\\a_n\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}b_1\\...\\b_m\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) to współrzędne wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) w bazie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ b_1,...,b_m}\) to współrzędne wektora \(\displaystyle{ \varphi\left( \alpha\right)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\), ale mi to nie pomaga w zrozumieniu, bo to by sugerowało, że \(\displaystyle{ \left( 1,3,4\right)}\) to współrzędne w bazie, a z tego co rozumiem to my chcemy zwykłe współrzędne wektora, aby wyznaczyć obraz. Co się tu nie zgadza?