Wyznacznik macierzy n na n.

[pawlo392]

Mamy macierz \(\displaystyle{ n \ x \ n}\) gdzie na przekątnej od "lewej góry do prawego dołu" są zera a reszta to jedynki. Jak policzyć wyznacznik takiej macierzy? Próbowałem jakoś "gausować" ale nic konkretnego nie mam.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left| A_n\right| =
\left|\begin{array}{cccc}
0 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 0
\end{array}\right| =}\)
od wszystkich wierszy odejmuję wiersz ostatni
\(\displaystyle{ =\left|\begin{array}{cccccc}
-1& 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 &-1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right|=}\)
i do ostatniego wiersza dodaję pozostałe wiersze
\(\displaystyle{ =\left|\begin{array}{cccccc}
-1& 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 &-1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1
\end{array}\right| =(-1) ^{n-1}(n-1)}\)

[pawlo392]

Dziękuje.