Znaleźć taką bazę B, aby fi miało w tej bazie macierz w ...

[edzioedzio55]

Znaleźć taką bazę \(\displaystyle{ B}\), aby \(\displaystyle{ \varpfi}\) miało w tej bazie macierz w postaci kanonicznej Jordana.

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}\)
wartości własne wychodzą:
\(\displaystyle{ \lambda = 0}\) krotność algebraiczna wynosi 2
\(\displaystyle{ \lambda = 3}\) krotność algebraiczna wynosi 1

dla \(\displaystyle{ \lambda = 3}\) znajduje wektor, a w zasadzie przestrzeń własną, jako
\(\displaystyle{ \{ \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ 0 \end{bmatrix}: \alpha \in \mathbb{R} \}}\), a przykładowy wektor własny to np.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}}\)

Teraz \(\displaystyle{ \lambda = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\)
przestrzeń własna to
\(\displaystyle{ \{ \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \alpha+\beta \end{bmatrix}: \alpha,\beta \in \mathbb{R} \}}\)

Pytanie co powinienem teraz zrobić?

wziąć jakieś dwa wektory niezależne np.\(\displaystyle{ \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}}\)
i już mogę zbudować macierz ustalającą podobieństwo \(\displaystyle{ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}}\)
i wówczas \(\displaystyle{ A = P J P^{-1}}\)

Czy może wziąć jeden wektor \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}\) i potem policzyć kolejne wektory główne, tzn.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}\)
tylko że tu wychodzą sprzeczności że nie ma już takiego wektora.

drugie pytanie na boku
Czy wektory główne to to samo co wektory dołączone bo takie pojęcia spotkałem w literaturze.