Ciekawe zadanko - macierze
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciekawe zadanko - macierze
Ile jest macierzy \(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)>0\,\,\,i\,\,\,A^{-1}=-A ?}\)
Ile jest macierzy \(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)}\)
Ile jest macierzy \(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 13:26 przez Novy, łącznie zmieniany 1 raz.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Ciekawe zadanko - macierze
Nie ma sprzeczności, spójrz:
\(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)>0\,\,\,i\,\,\,A^{-1}=-A ?}\)
mamy warunek:
\(\displaystyle{ detA^{-1}=det(-A)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{detA}=(-1)^2detA}\)
\(\displaystyle{ 1=(detA)^2}\)
\(\displaystyle{ detA=-1 detA=1}\)
Z tej racji że wyznacznik ma byc większy od zera to otrzymujemy jedno rozwiązanie równe 1.
\(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)>0\,\,\,i\,\,\,A^{-1}=-A ?}\)
mamy warunek:
\(\displaystyle{ detA^{-1}=det(-A)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{detA}=(-1)^2detA}\)
\(\displaystyle{ 1=(detA)^2}\)
\(\displaystyle{ detA=-1 detA=1}\)
Z tej racji że wyznacznik ma byc większy od zera to otrzymujemy jedno rozwiązanie równe 1.
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciekawe zadanko - macierze
moze byc nieskonczenie wiele macierzy, których wyznacznik wynosi 1.
To samo dla takich co wyznacznik wynosi -1.
To samo dla takich co wyznacznik wynosi -1.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Ciekawe zadanko - macierze
Ale przecież masz wiecej warunków. Ja wcześniej pisałem tylko i wyłącznie o wyznaczniku bo twierdziłeś że jest jakaś sprzeczność.
Sprawdz reszte warunków bo mi wychodzi ze nie ma żadnej takiej macierzy... oczywiscie moge sie mylic.
Sprawdz reszte warunków bo mi wychodzi ze nie ma żadnej takiej macierzy... oczywiscie moge sie mylic.
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciekawe zadanko - macierze
\(\displaystyle{ det(A^{-1}) = det (A)
\\
...po\,obliczeniach...}\)
\(\displaystyle{ \frac{ad-bc}{(ad-bc)^2} = ad-bc
ad-bc = 1\,\,\,\,\,\,v\,\,\,\,\,\, ad-bc =\,(-1)}\)
z założeń wiemy że det(A) > 0
czyli ad-bc > 0
w takim razie tylko pierwszy warunek jest spełniony. A takich macierzy, złozonych z a,b,c,d, których wyznacznik jest rowny jeden jest niesk. wiele...
(np. a=1, b=1, c=1,2,3,4,5.... d=2,3,4,5,6....)
\\
...po\,obliczeniach...}\)
\(\displaystyle{ \frac{ad-bc}{(ad-bc)^2} = ad-bc
ad-bc = 1\,\,\,\,\,\,v\,\,\,\,\,\, ad-bc =\,(-1)}\)
z założeń wiemy że det(A) > 0
czyli ad-bc > 0
w takim razie tylko pierwszy warunek jest spełniony. A takich macierzy, złozonych z a,b,c,d, których wyznacznik jest rowny jeden jest niesk. wiele...
(np. a=1, b=1, c=1,2,3,4,5.... d=2,3,4,5,6....)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Ciekawe zadanko - macierze
No ale nie sądzisz że warunek
\(\displaystyle{ det(A^{-1}) = det (A)}\)
to nie to samo co
\(\displaystyle{ A^{-1} = -A}\)
?
A nie widze żebyś sprawdzal gdziekolwiek to założenie...
\(\displaystyle{ det(A^{-1}) = det (A)}\)
to nie to samo co
\(\displaystyle{ A^{-1} = -A}\)
?
A nie widze żebyś sprawdzal gdziekolwiek to założenie...
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciekawe zadanko - macierze
jeszcze raz...
to w ogóle są 2 zadania - jedno z A. drugie z -A.
jeszcze raz z A:
\(\displaystyle{ det(A)>0
\\
\\
A^{-1}=(A)}\)
to były nasze załozenia. A teraz obliczenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]
\\
\\
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{d}{ad-bc}}&{\frac{b}{ad-bc}}\\{\frac{c}{ad-bc}}&{\frac{a}{ad-bc}}\end{array}\right]}\)
to ma się równać, więc:
\(\displaystyle{ a=\frac{d}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{b}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{c}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{a}{ad-bc}}\)
z tego z kolei wynika że a=d oraz że \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\) co jest większe od zera, zgadza się.
Tak więc aby spełniona była początkowa równość, det(A) musi się równać 1 i a=d
to w ogóle są 2 zadania - jedno z A. drugie z -A.
jeszcze raz z A:
\(\displaystyle{ det(A)>0
\\
\\
A^{-1}=(A)}\)
to były nasze załozenia. A teraz obliczenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]
\\
\\
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{d}{ad-bc}}&{\frac{b}{ad-bc}}\\{\frac{c}{ad-bc}}&{\frac{a}{ad-bc}}\end{array}\right]}\)
to ma się równać, więc:
\(\displaystyle{ a=\frac{d}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{b}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{c}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{a}{ad-bc}}\)
z tego z kolei wynika że a=d oraz że \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\) co jest większe od zera, zgadza się.
Tak więc aby spełniona była początkowa równość, det(A) musi się równać 1 i a=d
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 22:54 przez Novy, łącznie zmieniany 3 razy.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Ciekawe zadanko - macierze
\(\displaystyle{ det(A)>0 \\ A^{-1}=-A}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ -A=\left[\begin{array}{ccc}{-a}&{-b}\\{-c}&{-d}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ detA=ad-bc=1}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{d}&{-c}\\{-b}&{a}\end{array}\right]}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a=-d\\
b=c}\)
i wstawiając do równania z wyznacznikiem:
\(\displaystyle{ ad-bc=1\\
-a^2-b^2=1\\a^2+b^2=-1}\)
Czyli jak dla mnie nie ma żadnej takiej macierzy...
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ -A=\left[\begin{array}{ccc}{-a}&{-b}\\{-c}&{-d}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ detA=ad-bc=1}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{d}&{-c}\\{-b}&{a}\end{array}\right]}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a=-d\\
b=c}\)
i wstawiając do równania z wyznacznikiem:
\(\displaystyle{ ad-bc=1\\
-a^2-b^2=1\\a^2+b^2=-1}\)
Czyli jak dla mnie nie ma żadnej takiej macierzy...
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciekawe zadanko - macierze
no racja.. ja zrobiłem zadanie z A, a Ty z -A.
W moim wyjdzie że nieskonczenie, a w Twoim że zero.
W moim wyjdzie że nieskonczenie, a w Twoim że zero.