Ilość rozwiązań w zależności od parametru k.

[szuchasek]

Mam problem z takim oto zadaniem:

W zależności od parametru \(\displaystyle{ k}\) określić liczbę rozwiązań układu równań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+z=0\\ x+ky+z=0 \\x+y+kz=0 \end{cases}}\)

Wyszlo mi ze dla \(\displaystyle{ k \neq 1 \wedge k \neq 2}\) układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Sprawdzam co dzieje się dla \(\displaystyle{ k=1}\):

Dochodzę Gaussem do takiej macierzy:\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}
0 & 1& 0 \\[0.3em]
1 & 0 & 1 \\[0.3em]
0 &0 & 0
\end{bmatrix}}\)
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru. Nie mam pojęcia zielonego jak je wyznaczyć. Sytuacja wyglada podobnie dla \(\displaystyle{ k=2}\):

\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix}
0 & 0& 0 \\[0.3em]
1 & 0 & 3 \\[0.3em]
0 &1 & -1
\end{bmatrix}}\)

Proszę o pomoc.

[kerajs]

Tu masz więcej niewiadomych niż równań. Niewiadomych może być tyle ile wynosi rząd tego układu równań. Pozostałe niewiadome. który nie brały udziału w liczeniu rzędu traktujesz jak parametr i przenosisz na druga stronę równania. W Twoich przykładach cokolwiek wybierzesz to mogą być dwoma niewiadomymi, ale nie zawsze tak jest.

[szuchasek]

Nie rozumiem, mam 3 równania i 3 niewiadome.

[kerajs]

Dochodzę Gaussem do takiej macierzy:\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}
0 & 1& 0 \\[0.3em]
1 & 0 & 1 \\[0.3em]
0 &0 & 0
\end{bmatrix}}\)

Ja tu widzę tylko dwa równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0 \\ x+z=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0 \\ x=-z \end{cases}}\)
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od parametru z-et.
Tu akurat y-grek nie może być parametrem.

Sytuacja wyglada podobnie dla \(\displaystyle{ k=2}\).
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix}
0 & 0& 0 \\[0.3em]
1 & 0 & 3 \\[0.3em]
0 &1 & -1
\end{bmatrix}}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+3z=0 \\ y-z=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3z \\ y=z \end{cases}}\)

(choć można przedstawić rozwiązanie z parametrem x lub y)