Witam, czy mógłby mi ktoś pomóc udzielić odpowiedzi na pytanie i uzasadnić dane twierdzenie,kompletnie nie wiem jak powinienem sie za to zabrać.
Co wiadomo o macierzy przekształcenia złożonego? Uzasadnij, że dla macierzy
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccc} \frac{ \sqrt{3} }{2}&- \frac{1}{2} \\\frac{1}{2}& \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{array}\right]}\) jest \(\displaystyle{ A^{12}=I}\)
macierz przekształcenia złożonego
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
macierz przekształcenia złożonego
Może się przydać:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_obrotu-
machoman
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 1 lis 2016, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
macierz przekształcenia złożonego
Jeśli dobrze rozumiem twoją wskazówkę, należy zapisać podaną macierz w takiej postaci
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccc} cos \frac{ 6 }{ \pi } &-\sin\frac{ 6 }{ \pi } \\\\sin\frac{ 6 }{ \pi }& cos \frac{ 6 }{ \pi }\end{array}\right]}\)
Ale co dalej w jaki sposób podnieść tą macierz do potęgi 12, bo przecież chyba nie wymnażać .
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccc} cos \frac{ 6 }{ \pi } &-\sin\frac{ 6 }{ \pi } \\\\sin\frac{ 6 }{ \pi }& cos \frac{ 6 }{ \pi }\end{array}\right]}\)
Ale co dalej w jaki sposób podnieść tą macierz do potęgi 12, bo przecież chyba nie wymnażać .
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
macierz przekształcenia złożonego
Wszystko co potrzeba jest opisane w tym artykule.
"obraca punkty w płaszczyźnie \(\displaystyle{ xy}\) przeciwnie do obrotu wskazówek zegara o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) wokół osi \(\displaystyle{ z}\)."
Po wymnożeniu przez macierz obrotu punkt obróci się o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), teraz na ten wynik znów zadziałajmy przekształceniem, znów nastąpi obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), ale w stosunku do wyjściowego punktu, to będzie już obrót o \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{6}}\). Kontynuując w ten sposób rozumowanie dostajemy, że \(\displaystyle{ 12}\) obrotach wylądujemy w puncie, z którego startowaliśmy.
Teraz trzeba sobie przypomnieć troszkę o macierzach przekształcenia. Wynik tego przekształcenia na wektorze \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\) to \(\displaystyle{ \mathbf{A x}}\). Na ten wynik jak znów zadziałamy przekształceniem reprezentowanym przez macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A}}\) to dostaniemy \(\displaystyle{ \mathbf{A} \cdot \mathbf{Ax} = \mathbf{A}^2 \mathbf{x}}\). Po \(\displaystyle{ 12}\) obrotach dostaniemy \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{12} \mathbf{x} = ...}\) - no właśnie, równa się co? A no równa się \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\), bo skończyliśmy dokładnie w tym samym punkcie \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\), z którego wystartowaliśmy. Dostajemy zatem \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{12} \mathbf{x} = \mathbf{x}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{12} = \mathbf{I}}\). Chyba tak jest poprawnie.
"obraca punkty w płaszczyźnie \(\displaystyle{ xy}\) przeciwnie do obrotu wskazówek zegara o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) wokół osi \(\displaystyle{ z}\)."
Po wymnożeniu przez macierz obrotu punkt obróci się o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), teraz na ten wynik znów zadziałajmy przekształceniem, znów nastąpi obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), ale w stosunku do wyjściowego punktu, to będzie już obrót o \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{6}}\). Kontynuując w ten sposób rozumowanie dostajemy, że \(\displaystyle{ 12}\) obrotach wylądujemy w puncie, z którego startowaliśmy.
Teraz trzeba sobie przypomnieć troszkę o macierzach przekształcenia. Wynik tego przekształcenia na wektorze \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\) to \(\displaystyle{ \mathbf{A x}}\). Na ten wynik jak znów zadziałamy przekształceniem reprezentowanym przez macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A}}\) to dostaniemy \(\displaystyle{ \mathbf{A} \cdot \mathbf{Ax} = \mathbf{A}^2 \mathbf{x}}\). Po \(\displaystyle{ 12}\) obrotach dostaniemy \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{12} \mathbf{x} = ...}\) - no właśnie, równa się co? A no równa się \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\), bo skończyliśmy dokładnie w tym samym punkcie \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\), z którego wystartowaliśmy. Dostajemy zatem \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{12} \mathbf{x} = \mathbf{x}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{12} = \mathbf{I}}\). Chyba tak jest poprawnie.