Mam takie zadanie i nie bardzo potrafie sobie z nim poradzic:
Niech \(\displaystyle{ A = M_{f}(B_{1}, B_{2}) = \left[\begin{array}{ccc}3&0\\2&1\\1&-1\end{array}\right]}\) będzie macierzą odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f : R^{2} \rightarrow R^{3}}\), a \(\displaystyle{ C = M_{g}(B_{3}, B_{1}) = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\2&0&1\end{array}\right]}\) macierzą odwzorowania \(\displaystyle{ g : R^{3} \rightarrow R^{2}}\). Znajdź \(\displaystyle{ M_{f \circ g}(B_{2}, B_{2})}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ B_{1} = (u_{1}, u_{2}), B_{2} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), B_{3} = (w_{1}, w_{2}, w_{3})}\) , gdzie \(\displaystyle{ w_{1} = 2v_{2} + v_{3}, w_{2} = -v_{1}, w_{3} = -v_{2} - v_{3},}\).
O ile dobrze zrozumiałem część wykładu to trzeba uzyć wzoru który w tym wypadku bedzie wyglądał chyba tak: \(\displaystyle{ M_{f \circ g}(B_{2}, B_{2}) = M_{f}(B_{2}, B_{2}) \cdot M_{g}(B_{2}, B_{2})}\)
Ale wgl nie za bardzo wiem co to jest macierz odwzorowania z bazy B2 do B2 (czy to robić jak dla różnych baz) i jak to zapisać z tych podanych wyżej baz.-- 12 sty 2017, o 21:07 --Rozwiązałem ten przykład tak
\(\displaystyle{ f(u_{1}) = 3v_{1}+2v_{2}+v_{3}
f(u_{2}) = v_{2}-v_{3}
g(w_{1}) = u_{1}-2u_{2}
g(w_{2}) = -u_{1}
g(w_{3}) = u_{1}+u_{2}}\)
z treści zadania \(\displaystyle{ w_{1} = 2v_{2} + v_{3}, w_{2} = -v_{1}, w_{3} = -v_{2} - v_{3}}\)
podkładam i mam:
\(\displaystyle{ g(2v_{2} + v_{3}) = u_{1}-2u_{2}
g(-v_{1}) = -u_{1}
g(-v_{2} - v_{3}) = u_{1}+u_{2}}\)
z tego wyliczam (i tu nie jestem pewny czy mogę sobie tak dowolnie operować odwzorowaniami i wektorami odejmując i dodając):
\(\displaystyle{ g(v_{1}) = u_{1}
g(v_{2}) = g(2v_{2} + v_{3}) + g(-v_{2} - v_{3}) = u_{1} + 2u_{2} + u_{1} + u_{2} = 2u_{1} + 3u_{2}
g(v_{3}) = g(2v_{2} + v_{3}) - 2g(v_{2}) = u_{1} + 2u_{2} - 4u_{1} - 6u_{2} = -3u_{1} - 4u_{2}}\)
i zadziałałem odwzorowaniem f obustronnie:
\(\displaystyle{ f(g(v_{1})) = f(u_{1}) = 3v_{1}+2v_{2}+v_{3}
f(g(v_{2})) = f(2u_{1} + 3u_{2}) = 6v_{1}+7v_{2}-v_{3}
f(g(v_{3})) = f(-3u_{1} - 4u_{2}) = -9v_{1}-10v_{2}+v_{3}}\)
więc z tego mi wyszło:
\(\displaystyle{ M_{f \circ g}(B_{2}, B_{2}) = \begin{bmatrix} 3&6&-9\\2&7&-10\\1&-1&1\end{bmatrix}}\)
Czy ktoś mógłby zweryfikowac tą metodę, bo jestem jej bardzo niepewny