Czy proste są identyczne, równoległe, przecinają się itp.

[Qwertyluk]

Dane są proste \(\displaystyle{ l1, l2, l3, l4}\). Proste określone równaniami:

\(\displaystyle{ l1: \left\{\begin{array}{l} 3x+2y-z+5=0\\x-y+2z-1=0 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ l2: \left\{\begin{array}{l} x=-3t\\y=7t-3\\z=5t-1 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ l3: \frac{x+3}{1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z-4}{3}}\)

Natomiast prosta \(\displaystyle{ l4}\) to prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P=(3,-5,7)}\) oraz \(\displaystyle{ Q=(-3,9,3)}\).

Dla każdej pary prostej sprawdź czy są identyczne, równoległe, przecinają się, są skośne.



Jeżeli chodzi o mnie, to potrafię wyliczyć prostą \(\displaystyle{ l4}\) oraz czy proste są równoległe, jednak nie wiem co z resztą (jak sprawdzić czy są identyczne, czy się przecinają i czy są skośne).

[kerajs]

Proste identyczne czyli pokrywające się, to proste równoległe (ich wektory kierunkowe są proporcjonalne) przechodzące przez te same punkty (punkt zaczepienia jednej prostej wstawiasz do równania drugiej prostej, gdy dostaniesz równanie sprzeczne to proste równoległe są rozłączne).

Przecinanie się prostych sprawdzasz przez rozwiązanie układu równań z dwoma prostymi. Możliwe wyniki:
Brak rozwiązań - proste skośne lub równoległe
Jedno rozwiązanie - proste się przecinają (w punkcie który jest rozwiązaniem).
Nieskończenie wiele rozwiązań - proste się pokrywają (są identyczne)