Działania na macierzach

[Teyal]

Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą macierzami nieosobliwymi tego samego stopnia, zaś \(\displaystyle{ X}\) taką macierzą, że \(\displaystyle{ A^{-1}XB=\left(B^{T}A\right)^{T}-5A^{-1}}\)

1) Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ X}\)
2) Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ B^{-1}}\) oraz macierz \(\displaystyle{ X}\), jeśli

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} -1&0&2\\1&1&0\\3&0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 4&0&1\\1&1&1\\3&0&2\end{bmatrix}}\)

Jak to zrobić? Nie za bardzo wiem jak działać na macierzach, kiedy kolejność mnożenia ma znaczenie, mógłby mi ktoś pokazać jak się to rozwiązuje? Będę bardzo wdzięczny!

[NogaWeza]

Transpozycja rządzi się następującym prawem, może Ci się przydać \(\displaystyle{ (AB)^T = B^T A^T}\). Potem mnóż z prawej i lewej strony przez to co trzeba, żeby doprowadzić do wyrażenia postaci \(\displaystyle{ X = \text{coś}}\), wstaw macierze \(\displaystyle{ A,B}\) i gotowe.

[Teyal]

\(\displaystyle{ A^{-1}XB=(B^{T}A)^{T}-5A^{-1}

A^{-1}XB=A^{T}B-5A^{-1}

AA^{-1}XB=AA^{T}B-5AA^{-1}

IXB=AA^{T}B-5I

IXBB^{-1}=AA{T}BB^{-1}-5IB^{-1}

IXI=AA^{T}I-5IB^{-1}

X=AA^{T}-5B^{-1}}\)

Czy to w takim razie się zgadza?

[NogaWeza]

Tak!