Baza jądra i obrazu odwzorowania

[iridescent]

Mam za zadanie wyznaczyć jądro i obraz (oraz podać ich bazy) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ \RR^2 \rightarrow \RR^3 : f(x,y)=(y,x,y+y)}\) i baza obrazu wyszła mi \(\displaystyle{ lin(0,1,1),(1,0,1))}\), a przy liczeniu jądra dostałam \(\displaystyle{ x=y=0}\) więc rozumiem, że bazą jądra byłby wektor \(\displaystyle{ (0,0,0)}\), z tym że nie zgadzają się wymiary z tym co powinnam dostać, więc mógłby mi ktoś wskazać w którym miejscu popełniam błąd?

[bartek118]

Domyślam się, że chodziło o \(\displaystyle{ f(x,y) = (y, x, x+y)}\). Wszystko się zgadza. Powinno być
\(\displaystyle{ \dim \mathrm{im}\, f + \dim \mathrm{ker}\, f = 2,}\)
a u Ciebie tak jest.

[iridescent]

Ale czy moje rozwiązanie nie daje
\(\displaystyle{ dim ker f=1}\)
\(\displaystyle{ dim im f=2}\)
?

[bartek118]

Nie. Przecież \(\displaystyle{ \mathrm{ker}\, f = \{ 0 \}}\), bazą przestrzeni zerowej jest zbiór pusty \(\displaystyle{ \emptyset}\), a więc
\(\displaystyle{ \dim \mathrm{ker}\, f = \sharp \emptyset = 0.}\)

[iridescent]

O właśnie tej informacji gdzieś mi brakowało, dziękuję bardzo